Matrixrang = Dimension?

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missmoose Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixrang = Dimension?
Guten morgen,

ich schreibe morgen eine LK-Klausur über Vektorrechnung und verstehe noch nicht ganz, wie ich auf die Dimension eines Vektorraumes komme.
In meinem Buch sind Aufgaben mit mehreren Vektoren, beispielsweise drei Zeilenvektoren à drei Zeilen, und wir sollen die Dimension des Vektorraumes bestimmen.
Bei manchen Beispielen sieht man sofort, dass ein Vektor durch zwei andere dargestellt werden kann und damit linear abhängig ist und nicht zur Dimension zählt. (Habe ich das überhaupt richtig verstanden?)
Aber manchmal sieht man das eben nicht auf den ersten Blick, deshalb habe ich die Vektoren als Matrix aufgeschrieben und versucht, die nach einem Dreieck anzuordnen. Das mit der Matrix hatten wir noch nicht, ich hab mir das gerade selbst beigebracht. Ist es jetzt so, dass die Anzahl der übrig bleibenden Zeilen, die nicht 0 sind, gleich der Dimension ist? Also wenn es z.B. 4 Spalten und 4 Zeilen sind, und am Ende ist die letzte Zeile 0, also bleiben 4 Spalten und 3 Zeilen übrig, heißt das dann automatisch, dass die Dimension des Vektorraumes 3 ist?
Ich habe schon nach Erklärungen gesucht, aber da stand, dass das "Rang der Matrix" heißt und der Rang von Zeilen und Spalten gleich sein muss. Das wäre jetzt aber in meinem Beispiel nicht der Fall.
Ich bin ziemlich verwirrt und muss das ganz dringend verstehen.
Vielleicht kann man die Dimension ja auch viel einfacher rausfinden?
Ich hoffe sehr, dass ihr mir helfen könnt, sonst bin ich morgen ein bisschen aufgeschmissen.

Ganz liebe Grüße,
missmoose
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixrang = Dimension?
Zitat:
Original von missmoose
Ich habe schon nach Erklärungen gesucht, aber da stand, dass das "Rang der Matrix" heißt und der Rang von Zeilen und Spalten gleich sein muss. Das wäre jetzt aber in meinem Beispiel nicht der Fall.

Doch, das ist garantiert auch in deinem Beispiel so. Mit Sicherheit läßt sich noch eine Spalte als Kombination aus den anderen Spalten darstellen. Aber am besten fangen wir am Anfang an.

Als erstes hast du eine Menge von Vektoren, die den Vektorraum komplett aufspannen oder erzeugen. Man nennt diese Menge auch Erzeugendensystem. Nun kann es sein, daß es innerhalb dieser Menge von Vektoren noch den einen oder anderen Vektor gibt, der sich durch eine Kombination aus anderen Vektoren darstellen läßt. Ohne daß Entscheidendes passiert, kann man diesen Vektor auch weglassen. Erhält man auf diese Weise ein Erzeugendensystem von linear unabhängigen Vektoren, dann nennt man dieses auch Basis. Die Dimension des Vektorraums ist dann die Anzahl der Basisvektoren.

Wenn du also ein Erzeugendensystem hast, mußt du nur die Vektoren als Zeilen in eine Matrix schreiben und diese auf Zeilenstufenform bringen. Die Nicht-Null-Zeilen bilden dann die Basis, deren Anzahl ist die Dimension.
Toxman Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Rang von Spalten und Zeilen:

Es gibt den Spaltenrang und den Zeilenrang einer Matrix.

Den Zeilenrang bestimmst du mit dem Gaußschen Eliminationsferfahren, also immer Zeilen die übereinander stehen, von einenander abziehen usw. Mit dieser Methode bekommst du dann z.B. die unterste Zeile weg, aber wahrscheinlich nicht die erste Spalte.

Den Spaltenrang bestimmst du, in dem du wieder das Gaußsche Verfahren anwendest, jetzt aber Spalten (senkrecht) voneinander abziehst. Sieht erstmal ungewohnt aus, funktioniert aber genauso. Damit bekommst du dann z.B. die erste Spalte weg, aber nicht die unterste Zeile.

Man kann beweisen, dass diese beiden Ränge gleich sind und spricht dann nur noch vom Rang der Matrix.

Du darfst dich also nicht wundern, wenn bei deinen Berechnung nicht sowohl eine Spalte aus auch eine Zeile verschwindet.
missmoose Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

Also habe ich das praktisch schon richtig verstanden?
Und wenn jetzt nicht direkt gesagt wird, dass ich beweisen muss, dass Spaltenrang und Zeilenrang gleich sind, reicht es, wenn ich das Gaußsche Eliminationsverfahren nur für die Spalten anwende?
Ich muss also nicht schon bevor ich die Matrix aufstelle, wissen, welcher der Vektoren des Erzeugendensystems "überflüssig" ist, also nicht zur Basis zählt?

Zitat:
Wenn du also ein Erzeugendensystem hast, mußt du nur die Vektoren als Zeilen in eine Matrix schreiben und diese auf Zeilenstufenform bringen. Die Nicht-Null-Zeilen bilden dann die Basis, deren Anzahl ist die Dimension.


Dann habe ich die Matrix ja bis jetzt immer falsch rum aufgeschrieben. Weil wenn ich Spaltenvektoren hatte, habe ich die auch als Spalten der Matrix benutzt. Aber so kann ich ja dann nicht herausfinden, welcher der Vektoren nicht zur Basis gehört, oder? Ich müsste mit den Spaltenvektoren die Zeilen der Matrix bilden?

Oje, ich hoffe, ihr versteht, was ich meine.

Liebe Grüße,
missmoose
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht wirklich. Der Rang einer Matrix ist gleich dem Rang der transponierten Matrix:. Insofern ist es egal, wie Du aus den Vektoren die Matrix zusammensetzt - ob Du die Vektoren zeilenweise oder spaltenweise einträgst. Vielleicht hilft es, die Aufgabe hier einzurücken.
missmoose Auf diesen Beitrag antworten »

Transponierte Matrix sagt mir jetzt leider gar nichts.
Wir haben das auch in der Schule noch nicht ausführlich durchgenommen.
Ich weiß auch leider nicht, wie ich hier eine Matrix darstellen kann, sonst würde ich die Aufgabe mal abschreiben. unglücklich
 
 
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »

Die transponierte Matrix entsteht durch Vertauschen von Zeilen mit Spalten: . Dann ist die transponierte Matrix zu A: . Das MatheBoard hat einen Formeleditor, den Du rechts auf dem Browser unter "Werkzeuge" findest.
missmoose Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, das habe ich verstanden.
Wenn ich jetzt vier Vektoren habe, von denen drei zur Basis gehören, dann ist die Dimension ja drei.
Mit der Matrix kann ich die Dimension ablesen, aber kann ich daran auch erkennen, welche der Vektoren linear abhängig und welche unabhängig sind?
Es könnte ja sein, dass ich einen der Vektoren durch die anderen darstellen muss.

Liebe Grüße,
missmoose
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aber kann ich daran auch erkennen, welche der Vektoren linear abhängig und welche unabhängig sind?


Wenn eine Menge linear abhängig ist dann sind alle Vektoren linear abhängig. Du kannst aber eventuel linear unabhängige Teilmengen auswählen. Anhand der Matrix sieht man nicht (das hängt von den Vektoren selbst ab) sofort welche Vektoren aus der Menge ausgewählt linear unabhängig sind. Zudem ist die Auswahl der Vektoren nicht eindeutig, ein kleines Beispiel, betrachte folgende Menge:



Diese Menge ist linear abhängig, man kann aber folgende linear unabhängigen Teilmengen auswählen:








Das heißt Deine Frage ob man erkennen kann welche Vektoren linear unabhängig sind ist nicht eundeutig zu benatworten. Es hängt von Dir ab welche Du auswählst.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von missmoose
Also habe ich das praktisch schon richtig verstanden?

Im Großen und Ganzen, ja.

Zitat:
Original von missmoose
Ich muss also nicht schon bevor ich die Matrix aufstelle, wissen, welcher der Vektoren des Erzeugendensystems "überflüssig" ist, also nicht zur Basis zählt?

Genau. Die überflüssigen Vektoren verschwinden durch das Eliminationsverfahren.

Zitat:
Original von missmoose
Dann habe ich die Matrix ja bis jetzt immer falsch rum aufgeschrieben. Weil wenn ich Spaltenvektoren hatte, habe ich die auch als Spalten der Matrix benutzt. Aber so kann ich ja dann nicht herausfinden, welcher der Vektoren nicht zur Basis gehört, oder? Ich müsste mit den Spaltenvektoren die Zeilen der Matrix bilden?

Genau. Du schreibst die Vektoren als Zeilen in die Matrix und wendest auf die Zeilen das Gauß-Verfahren an. Wenn du nachhältst, welcher Vektor welcher Zeile entspricht, bekommst du auch raus, welche Vektoren überflüssig sind.
missmoose Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen, vielen Dank!

Ich denke, ich kann das jetzt soweit.
Drückt mir bitte die Daumen für morgen, das wird bestimmt nicht einfach.
Ich muss in Mathe dringend ein bisschen besser werden.

Liebe Grüße,
missmoose
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