Exponentialverteile Zufallsvariable X

25.02.2007, 11:54

brunsi

Exponentialverteile Zufallsvariable X

Die Zufallsvariable X beschreibe die Lebensdauer eines Fernsehgerätes (in h).

Angenommen X ist exponentialverteilt.
Bestimmen Sie den Erwartungswert und den Median dieser Zufallsvariablen, wenn bekannt ist, dass $\begin{eqnarray*} P(x\geq10.000)=0,7 \end{eqnarray*}$ gilt.

Es gilt also: $\begin{eqnarray*} X~Exp(x;\lambda) \end{eqnarray*}$

Im grunde müsste es ähnlich ablaufen, wie bei der Normalverteilung, bei der ich die Wahrscheinlichkeit habe!!

also $\begin{eqnarray*} P(x\geq 10.000)=1-P(X\leq10.000)=0,3 \Rightarrow 1-e^{-10.000\lambda}=0,3 \end{eqnarray*}$

AUflösen nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} e^{-10.000\lambda}=0,7 \end{eqnarray*}$ Logarithmieren!!

$\begin{eqnarray*} -10.000\lambda=ln(0,7)\Rightarrow \lambda=\frac{ln(0,7)}{-10.000} \end{eqnarray*}$

Was mache ich hier falsch um den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ zu erhalten??

Muss irgendwie für $\begin{eqnarray*} \lambda=0,31... \end{eqnarray*}$ herausbekommen, aber wie?? ist bei meiner umformung etwas falsch gelaufen??

25.02.2007, 19:26

brunsi

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RE: Exponentialverteile Zufallsvariable X
Könnte mir jmd hier einenh kleinen Tipp geben?? müsste irgendwie weiter kommen!!

25.02.2007, 20:45

Gast_47

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Zitat:

Original von brunsi
Muss irgendwie für $\begin{eqnarray*} \lambda=0,31... \end{eqnarray*}$ herausbekommen, aber wie?? ist bei meiner umformung etwas falsch gelaufen??

Wäre lambda=0,31, dann würdest du E(X)=1/0,31=3,23 bekommen. Und die Lebensdauer von 3,23 Stunden ist für ein Fernsehgerät zu kurz.

25.02.2007, 21:14

brunsi

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Tja aber mein Wert für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist auch zu hoch oder siehst das anders???

25.02.2007, 22:04

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Vielleicht konzentrierst du dich mal beim Einsetzen, dann verwechselst du auch nicht $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1-e^{-\lambda t} \end{eqnarray*}$ , wie du es oben ganz offenbar getan hast.

EDIT: Ach nein, du hast es zweimal verwechselt, dann müsste es eigentlich wieder stimmen. Trotzdem chaotisch, dein Aufschrieb:

Zitat:

Original von brunsi
$\begin{eqnarray*} P(x\geq10.000)=0,7 \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von brunsi
also $\begin{eqnarray*} P(x\geq 10.000)=1-P(X\leq10.000)=0,3 \end{eqnarray*}$

Falsch!

Zitat:

Original von brunsi
$\begin{eqnarray*} 1-e^{-10.000\lambda}=0,3 \end{eqnarray*}$

Wieder richtig.

26.02.2007, 12:34

brunsi

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Hihi, wirst bestimmt nun sehr belustigend finden.

ich habe das richtige Ergebnis heruasbekommen, nur habe ich das in STUNDEN errechnet, müsste das jetzt noch auf Jahre umrechnen und dann bekomme ich auch 3,2 Jahre heraus.

So jetzt brauche ich aber nochden Median $\begin{eqnarray*} X_{0,5}=?? \end{eqnarray*}$

Würde hier gerne die Quantilfunktion $\begin{eqnarray*} Q_p \end{eqnarray*}$ angeben, dazu müsste ich doch nur

$\begin{eqnarray*} 1-e^{\lambda\cdot x}=p \end{eqnarray*}$ setzen und nach x auflösen??

Für den Mittelwert kommt dann nach dieser Formel:

$\begin{eqnarray*} x_{0,5}=\frac{ln(2)}{\lambda} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{0,5}=\frac{ln(2)*(-10.000)}{ln(0,7)\cdot 24\cdot 365}=2,2245 Jahre \end{eqnarray*}$

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