Levi-Civita-Symbol

28.05.2013, 12:44

Simple

Levi-Civita-Symbol

zeige:
$\begin{eqnarray*} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijn} &= 2\delta_{kn} \end{eqnarray*}$
meine ideen:
$\begin{eqnarray*} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{imn}=\delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km} \end{eqnarray*}$
dann kann höchstes j=m setzen aber das erbringt nicht das erwünschte ergebnis

28.05.2013, 15:08

RavenOnJ

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Wenn man diese Form benutzt

$\begin{eqnarray*} \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}=\left|\begin{array}{ccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn}\end{array}\right| \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} i=l , j=m, \end{eqnarray*}$ setzt, dann erhält man (ohne Summierung über i,j)

$\begin{eqnarray*} \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn}=\left|\begin{array}{ccc} \delta_{ii} & \delta_{ij} & \delta_{in}\\ \delta_{ji} & \delta_{jj} & \delta_{jn}\\ \delta_{ki} & \delta_{kj} & \delta_{kn}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \delta_{ij}& \delta_{in}\\ \delta_{ji} & 1 & \delta_{jn}\\ \delta_{ki} & \delta_{kj} & \delta_{kn}\end{array}\right|= \delta_{kn} + \delta_{ij}\delta_{jn}\delta_{ki} + \delta_{ji}\delta_{in}\delta_{kj}- \delta_{jn}\delta_{kj}-\delta_{in}\delta_{ki} - \delta_{ij}\delta_{ji}\delta_{kn} \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt es die Summenkonvention anzuwenden.

Du kannst natürlich auch davon ausgehen

$\begin{eqnarray*} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{imn}=\delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km}\quad(*) \end{eqnarray*}$

dann j=m setzen und die Summenkonvention anwenden. Dabei musst du beachten, dass in (*) schon über i summiert wurde.

29.05.2013, 15:16

Simple

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angenommen ich bilde die summe nur über i dann erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \delta_{kn} + \delta_{1j}\delta_{jn}\delta_{k1} + \delta_{j1}\delta_{1n}\delta_{kj}- \delta_{jn}\delta_{kj}-\delta_{1n}\delta_{ki} - \delta_{1j}\delta_{j1}\delta_{kn}\delta_{kn} + \delta_{2j}\delta_{jn}\delta_{k2} + \delta_{j2}\delta_{2n}\delta_{kj}- \delta_{jn}\delta_{kj}-\delta_{2n}\delta_{ki} - \delta_{2j}\delta_{j2}\delta_{kn}+\delta_{kn} + \delta_{3j}\delta_{jn}\delta_{k3} + \delta_{j3}\delta_{3n}\delta_{kj}- \delta_{jn}\delta_{kj}-\delta_{3n}\delta_{ki} - \delta_{3j}\delta_{j3}\delta_{kn} \end{eqnarray*}$
aber nicht

Zitat:

Original von RavenOnJ
Du kannst natürlich auch davon ausgehen
$\begin{eqnarray*} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{imn}=\delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km}\quad(*) \end{eqnarray*}$ .

29.05.2013, 16:00

RavenOnJ

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Und was ist das Ergebnis?

Ich würde das aber anders schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \delta_{kn} + \delta_{ij}\delta_{jn}\delta_{ki} + \delta_{ji}\delta_{in}\delta_{kj}- \delta_{jn}\delta_{kj}-\delta_{in}\delta_{ki} - \delta_{ij}\delta_{ji}\delta_{kn} \end{eqnarray*}$

Diese Summe kannst du in einzelne Komponenten aufspalten:
1.) die Komponente, in der weder i noch j vorkommt
2. ) die Komponente, in der nur i vorkommt
3.) die Komponente, in der nur j vorkommt
4.) die Komponente, in der i und j vorkommt

Überlege dir dann, wie die einzelnen Komponenten behandelt werden müssen.

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