Topologie: Äquivalenz von simplizialer und singulärer Homologie für Delta-Komplexe

28.05.2013, 17:04	MarkusHeftler	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie: Äquivalenz von simplizialer und singulärer Homologie für Delta-Komplexe Hallöchen! Ich versuche gerade das Buch über algebraische Topologie von Hatcher durchzuarbeiten (frei verfügbar durch Suche nach "hatcher algebraic", ich darf leider keine Links eintragen). Ich hänge am Beweis von Satz 2.27, in dem die Äquivalenz von simplizialer und singulärer Homologie für $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ -Komplexe gezeigt wird. Ich verstehe die Struktur des Beweises und die Argument für die simpliziale Homologie. Aber dann für die singuläre stellen sich für mich Fragen: Wieso induziert die dortige Abbildung $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ einen Homöomorphismus von Quotientenräumen $\begin{eqnarray} \bigcup_\alpha\Delta_\alpha^k/\bigcup_\alpha\partial\Delta_\alpha^k\approx X^k/X^{k-1} \end{eqnarray}$ ? Wieso wird dadurch ein Isomorphismus der Homologiegruppen induziert (und nicht nur ein Homomorphismus)? Wie wird daraus gefolgert, dass die zentrale Abbildung in dem kommutativen Diagramm ein Isomorphismus ist? Wenn ihr mir bei mindestens einer dieser Fragen helfen könntet, würde ich mich freuen Markus

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