Darstellende Matrix

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Linabina Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellende Matrix
Meine Frage:
Sei definiert durch
, wobei A die obige darstellende Matrix bezeichnet. Der Endomorphismus F hat die Eigenwerte 0 und 2 mit den jeweiligen Eigenvektoren

und

.

Finden Sie einen Vektor v1, so dass F bezüglich der Basis (v0,v1,v2) die darstellende Matrix

hat.

Meine Ideen:
... hab Freitag mündliche Abi-Prüfung in Mathe, Thema lineare Algebra. Meine Lehrerin hatte mir noch ein paar Übungsaufgaben gegeben, die obige war auch darunter, aber mit der kann ich überhaupt nichts anfangen :/ Sie meinte auch, dass das schon fast eher Uni-Niveau wäre und sowas in der Form nicht drankommt, aber ich würde es trotzdem gerne verstehen. Ich soll natürlich keinen weiteren Kontakt zu ihr aufnehmen, da sie auch die Prüfung leiten wird... Leider weiß ich noch nicht mal, was die Aufgabenstellung jetzt genau meint :/. Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz geben, was man da tun muss? Rechnen würde ich es zur Übung schon gerne selbst, aber ich weiß halt überhaupt nicht wie ich anfangen soll :/ Hab' versucht, mir das zu ergooglen, aber die Sachen dort verstehe ich genauso wenig und in meinen Schulbüchern steht sowas nicht drin...
Um die darstellende Matrix zu bestimmen muss ich ja F(v0) und F(v1) und F(v2) berechnen und die Ergebnisvektoren als Linearkombination der Spalten von M darstellen? Oder bin ich da jetzt komplett auf dem Holzweg?


VG
Lina
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Fast eher Uniniveau ist gut Big Laugh . Sowas hätten wir nie in der Schule gemacht.

Betiteln wir die Basis (v0, v1, v2) mal mit B.
Mit ist dann der eindeutig bestimmte Isomorphismus mit gemeint.

Die 2. Spalte von M berechnet sich dann durch

Hast du damit eine Idee oder brauchst du noch einen Schubs?
Linabina Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort!
... Aber ich glaube, ich verstehe das so noch nicht. Ein weiterer Schubs wäre echt lieb...
Die Schreibweise ist mir nicht ganz klar, was soll das mit dem Phi bedeuten? :/
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss ich erst mal fragen, was ihr denn zu darstellenden Matritzen gemacht habt. Wie ist bei euch die darstellende Matrix eines Endomorphismus bezüglich einer bestimmten Basis denn definiert?

Also wenn du eine Basis und einen Endomorphismus gegeben hast, wie bestimmt du dann die Matrix?
Linabina Auf diesen Beitrag antworten »

Also man hat zwei Vektorräume und berechnet die Einträge der darstellenden Matrix, indem man auf die Vektoren der Basis des ersten Vektorraumes die Abbildungsvorschrift zwischen den beiden Vektorräumen anwendet und die entstandenden Vektoren als Linearkombinationen der zweiten Basis darstellt. Das ergibt dann spaltenweise die darstellende Matrix.
Das habe ich mir aber auch eher selbst erarbeitet, im Unterricht hatten wir sowas auch nie. Deshalb finde ich die Aufgabe auch so heftig...
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das hört sich schonmal gut an.

Nun hast du hier ja zweimal die selbe Basis, das heißt du musst die Bilder unter F der Vektoren der Basis wieder als Linearkombination der Basis darstellen.

Es geht hier ja nur um die 2. Spalte. Das Bild des zweiten Basisvektors ist . Dieses soll nun als Linearkombination bezüglich derselben Basis dargestellt (1, 0, 0) sein, also . Also muss dein so aussehen, dass

Ist das verständlich, bzw. hast du vielleicht schon eine Idee?
 
 
Linabina Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich wende die Abbildung F auf v1 an und bekomme eine Matrix und die lässt sich als Linearkombination von allen Basisvektoren darstellen und die jeweiligen Vorfaktoren ergeben die 2. Spalte der darstellenden Matrix M. Und weil die 2. Spalte 1*v0 + 0*v2 + 0*v3 wäre, ist sie einfach nur v0, also v0=F(v1). Soweit bin ich mitgekommen.
Nur F(v1) ist doch eine Matrix und v0 ein Vektor? Wie kann das gleich sein?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich ist F(v1) eben tatsächlich keine Matrix, sondern ein Vektor. Wie kommst du denn darauf?

Deswegen macht auch der Rest deines Posts gerade nicht so viel Sinn für mich.
Linabina Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann habe ich da grundsätzlich irgendwas missverstanden.
Ich dachte, F(v1) heißt, dass ich F auf v1 anwende, also in dem Fall die erste Matrix (mit (-1 , 1, -1) in der ersten Zeile) mit dem Vektor v1 multipliziere, weil das doch die Vorschrift ist, oder? Tut mir leid, ich habe halt von den Fachbegriffen nicht so wirklich Ahnung, weil ich mir das jetzt auch nur größtenteils selbst angelesen habe, in der Schule wurde mir das nicht erklärt..
Linabina Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, ich habe gerade einfach total falsch gedacht - sehe meinen Denkfehler jetzt... ich denke noch mal über die Aufgabe nach, aber ich verstehe jetzt, was ich tun muss
Linabina Auf diesen Beitrag antworten »

F(v1) =[latex]\begin{pmatrix} -x +y -z \\ -3x + 3y -z \\ -2x +2y +0 \end{pmatrix} [latex] = v0
Also ich würde jetzt darauf kommen: v1= (x,x,-1) und x kann man sich aussuchen.
Damit wäre die Aufgabe dann ja eigentlich auch wirklich schon erledigt (?).
Linabina Auf diesen Beitrag antworten »

F(v1) = = v0
Also ich würde jetzt darauf kommen: v1= (x,x,-1) und x kann man sich aussuchen.
Damit wäre die Aufgabe dann ja eigentlich auch wirklich schon erledigt (?).
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja richtig.

Edit:
Überprüfen kannst du das übrigens so:

Schreib deine Basisvektoren in eine Matrix S, also zum Beispiel:



Dann ist insbesondere invertierbar und(falls du das richtig gemacht hast), gilt dann

Linabina Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank für deine Hilfe!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde es übrigens sehr beeindruckend, dass du dir das selbst beigebracht hast. Hast du vor, später auch noch was mit Mathematik zu machen?

Ich wünsche viel Erfolg bei der Prüfung.
Linabina Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile Ja, ich möchte nach dem Abi Wirtschaftsmathematik studieren.
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