Determinante berechnen

28.05.2013, 18:30

rousie

Determinante berechnen

Meine Frage:
Ich habe ein Problem beim Berechnen einer Determinante.

Und zwar soll ich bei einer Population das Langzeitverhalten prüfen, dazu wollte ich entweder eine Determinante oder einen Eigenwert ausrechnen.

Für meine Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0&60 \\ 0,1 & 0 & 0&0 \\ 0& 0,5 & 0 & 0 \\0 & 0,01&0,4&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt die Determinante $\begin{eqnarray*} -1,2 \end{eqnarray*}$ .
Dies stimmt auch, aber was bedeutet das jetzt?

Für ein Langzeitverhalten einer Population gilt ja:
<1 austerben
=1 stationärer Zustand
>1 gegen Unendlich

Heißt es, dass meine Population aussterben wird? Das kann nämlich nicht sein, da die Populationsvektoren, die ich ausgerechnet habe, ständig steigen.

Kann mir jemand helfen? Und wie berechne ich jetzt Eigenwerte?

Meine Ideen:
Ist mein Ansatz für die Eigenwerte richtig?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0-k & 0 & 0&60 \\ 0,1 & 0-k & 0&0 \\ 0& 0,5 & 0-k & 0 \\0 & 0,01&0,4&0-k \end{pmatrix} = (0-k)\cdot (0-k)\cdot (0-k)\cdot (0-k)+ 0 +0+60\cdot 0,1\cdot 0,5\cdot 0,4 - 0-0-0-0 = k^{4} + 1,2 \end{eqnarray*}$

Muss ich das jetzt gleich Null setzten? Oder wie rechne ich jetzt weiter?

28.05.2013, 19:13

thk

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RE: Determinante berechnen - Hilfe
Hallo rousie,

die 0,01 diagonalisiert sich ja in einem Gauss-Schritt weg. Wenn du die erste Zeile nach unten verlegst, hast du die Eigenwerte bereits in der Diagonale stehen bis auf ein Vorzeichen, denn damit wäre Det = 0.1*0.5*0.4*60 = +1,2.

28.05.2013, 19:30

rousie

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RE: Determinante berechnen - Hilfe
danke für die schnelle Antwort.

Aber wie kommt man dadrauf, dass es gerade die Werte sind? Nur weil sie in der Diagonalen stehen? Und gibt es einen Rechenweg dafür? Und ist mein Rechenweg jetzt falsch?

Und was meinst du mit Gauss-Schritt? Warum fällt 0,01 weg?

Und was bedeutet jetzt eigentlich meine Determinante -1,2?

28.05.2013, 20:55

thk

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RE: Determinante berechnen - Hilfe
Aber wie kommt man dadrauf, dass es gerade die Werte sind? Nur weil sie in der Diagonalen stehen?
Ja (bis auf Vorzeichen, s.o.)

Und gibt es einen Rechenweg dafür? Und ist mein Rechenweg jetzt falsch?
Die Matrixdarstellung stimmt noch. Die Det. ist falsch (unvollst.) berechnet. Das Ergebnis kann nicht stimmen, denn da erhältst du keine reellen EW.
Muss ich das jetzt gleich Null setzten?
Ja

Und was meinst du mit Gauss-Schritt? Warum fällt 0,01 weg?

Dur Diagonalisierung addierst du das k-fache einer Zeile zur anderen. Mit k*0.5=-0.01 kannst du das k-fache der 3. zur 4. Zeile addieren.

Und was bedeutet jetzt eigentlich meine Determinante -1,2?

Die Det. ist das Produkt der Eigenwerte. (Sind die EW nicht bekannt, wendet man die bekannten Rechenvorschriften an).

29.05.2013, 13:09

rousie

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RE: Determinante berechnen - Hilfe
ok.

Zitat:

Original von thk
Dur Diagonalisierung addierst du das k-fache einer Zeile zur anderen. Mit k*0.5=-0.01 kannst du das k-fache der 3. zur 4. Zeile addieren.

Könntest du das irgendwie aufschreiben oder so, es ist mir nämlich noch nicht ganz klar.

Und ich verstehe auch nicht ganz warum mein Rechenweg falsch ist. Habe es nämlich so gemacht, wie wir es im Unterricht gelernt haben.

29.05.2013, 17:08

thk

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RE: Determinante berechnen - Hilfe
Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man das k-fache (irgeneiner rellen Zahl k) einer Zeile zu einer anderen addiert.
Das k-fache der dritten Zeile (0 0,5 0 0) könnte sein (0 -0,01 0 0)
Das addiersr du nun zur 4. Zeile und erhältst (0 0 0,4 0). Das Verfahren nennt sich GAUSS-Algorithmus (Aditionsverfahren zum Lösen von LGS kennst du vllt).

Für die Berechnung der EW nützt dir das allerdings nur etwas bei Diagonalgestalt. Hier musst du die Determinante ehrlich auflösen. Da hast du etwas vergessen und das Vorzeichen nicht beachtet.
Zu lösen ist k^4-60*Unterdeterminante = k^4-60(0.1*(0.5*0.4+k*0.01))= 0,
vereinfacht k^4-3/50k-6/5=0,
was dir 2 reelle EW beschehrt und 2 komplexe. Die Gleichung kannst du nur mit CAS lösen.
Zur Kontrolle: k1 = 1.0602386566...

30.05.2013, 20:08

rousie

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RE: Determinante berechnen - Hilfe
Ok, danke. Habe es jetzt verstanden. Und alles nochmal per Hand ausgerechnet. Eine echt lange Rechnung, aber ich komme aufs gleiche Ergebnis wie du. Ich habe jedoch zwei Eigenwerte rausbekommen^^

30.05.2013, 20:40

thk

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RE: Determinante berechnen - Hilfe
Ich hab ja geschrieben 2 reelle und 2 komplexe. Also sagen wir 2. Der 2. reelle ist -1.03285... oder vielmehr $\begin{eqnarray*} 0.5\cdot \sqrt{2\cdot \left(\sqrt[3]{\frac{9}{40000}+\frac{1}{40000}\cdot \sqrt{102400081}}+\sqrt[3]{\frac{9}{40000}-\frac{1}{40000}\cdot \sqrt{102400081}}\right)}-\sqrt{-\frac{\sqrt[3]{\frac{9}{40000}+\frac{1}{40000}\cdot \sqrt{102400081}}+\sqrt[3]{\frac{9}{40000}-\frac{1}{40000}\cdot \sqrt{102400081}}}{2}+\sqrt{\left(\sqrt[3]{\frac{9}{40000}+\frac{1}{40000}\cdot \sqrt{102400081}}+\sqrt[3]{\frac{9}{40000}-\frac{1}{40000}\cdot \sqrt{102400081}}\right)^{2}+\frac{6}{5}}} \end{eqnarray*}$

thihi keine halben Sachen gel. Alles per Hand ist hier schon ne lange Rechnung Augenzwinkern

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