Polynom kleinsten Grades

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28.05.2013, 19:18	Hermoine	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom kleinsten Grades Hier die Aufgabe: Berechnen Sie , falls möglich, ein Polynom H aus K[t]\{0} kleinsten Grades, so dass $\begin{eqnarray} H\equiv 2x²mod(x²+1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H\equiv 2x³mod(x²-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F = 2x² \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} P=x²+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G=2x³ \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} Q=x²-1 \end{eqnarray}$ Lösungsansatz: GGT von P und Q ermittelt nach dem erweiterten euklidischen Algorithmus ist $\begin{eqnarray} ggT(x²+1,x²-1)=2 \end{eqnarray}$ ist das schon die gesuchte Lösung? Im Skript hab ich ne Behauptung, die auch bewiesen wurde, aber ich weiß nicht, ob die hier auch gilt: $\begin{eqnarray} H=F\cdot E_{1}+G\cdot E_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E_{1}:=B_{k}\cdot Q=-x²+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E_{2}:=A_{k}\cdot P=x²+1 \end{eqnarray}$ Damit ist H: $\begin{eqnarray} H=2x²\cdot (-x²+1)+2x³\cdot (x²+1)=2(x^5-x^4+x³+x²) \end{eqnarray}$ ja, wie gesagt, ich weiß nicht, ob ich die letzte Formel anwenden darf.... Wäre schön, wenn mir jemand helfen kann oder sagen kann, was ich anders machen muss.
28.05.2013, 19:51	Hermoine	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, ich hab gerade nochmal mit nem online-rechner ausgerechnet, dass der ggT 1 ist. da hab ich wohl was falsch gemacht. ich suche mal meinen fehler..
28.05.2013, 20:24	Hermoine	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt bin ich total verwirrt. ich hab das mit dem ggt nicht verstanden, bzw meinen fehler nicht gefunden, weil ich alles so wie beim beispiel aus unserem skript gemacht habe. und als ich den ggt ausm beispiel mit dem online-rechner nachgerechnet hab, kam da auch ein anderes ergebnis raus: $\begin{eqnarray} ggT(x^4+x+1,x²+1)=5=(2-x)(x^4+x+1)+(x³-2x²+3)(x²+1) \end{eqnarray}$ steht im Skript, aber der online-rechner sagt ggT=1. Könnte jemand sagen, ob ich was falsch rechne, oder vllt der online-rechner (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomggt.htm) vllt für was anderes da ist?
29.05.2013, 11:12	sbh	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Aufgabe schreit ja quasi nach dem Chinesischen Restsatz. Wieso darf man hier den CRS anwenden? Dein Lösungsansatz war so weit schon nicht verkehrt. Der Ggt ist immer nur eindeutig bis auf Einheiten. Da in K[t] alle konstanten (außer 0) Einheiten sind kann du durchaus 2 UND 1 als richtig ansehen. Dein Polynom wird sich am Ende dann auch nur um eine Einheit von anderen unterscheiden. Deine Rechnung ist korrekt. Man gibt aber meistens das normierte Polynom an. (Deswegen wird auch $\begin{eqnarray} 1=E_1P+E_2Q \end{eqnarray}$ berechnet) wichtiger für dein Ergebnis ist aber, da ja das H mit minimalem Grad gesucht wird, dass $\begin{eqnarray} H \equiv 2x^3 \equiv 2x ~mod(x^2-1) \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} H \equiv 2x^2 \equiv -2 ~mod(x^2+1) \end{eqnarray}$ . Dein H erfüllt die geforderten Bedingungen, aber sein Grad ist zu groß.
29.05.2013, 19:31	Hermoine	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Idee wäre nun, das polynom noch durch 2x^2 zu teilen, weil das ggt von F und G ist? Ich antworte gerade von unterwegs, deswegen schreib ich die Lösung mal nicht aus.
29.05.2013, 19:38	sbh	Auf diesen Beitrag antworten »
du müsstest genau genommen $\begin{eqnarray} 2(x^5-x^4+x^3+x^2) ~mod~((x^2-1)(x^2+1)) \end{eqnarray*}$ betrachten
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29.05.2013, 20:02	Hermoine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich $\begin{eqnarray} 2(x^5-x^4+x^3+x^2) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} (x^4-1) \end{eqnarray}$ Teile erhalte ich 2x-2 und als Rest $\begin{eqnarray} 2(x^3+x^2+x+1) \end{eqnarray}$
29.05.2013, 21:11	sbh	Auf diesen Beitrag antworten »
Da muss sich bei dir ein Rechenfehler eingeschlichen haben. Ich hab grad die ganze Aufgabe nochmal durchexerziert. Wie gesagt, dein $\begin{eqnarray} H\equiv 2(x^5-x^4+x^3+x^2) \end{eqnarray}$ ist richtig. Aber beim Modulorechnen komm ich auf $\begin{eqnarray} x^3+x^2+x-1 \end{eqnarray}$ , was man auch bekommen würde, wenn man direkt mit $\begin{eqnarray} H \equiv -2 ~mod(x^2+1) \text{ und } H\equiv 2x ~mod(x^2-1) \end{eqnarray}$ rechnet
29.05.2013, 21:27	Hermoine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, ich hab's auch so aufgeschrieben, aber hier falsch hingetippt. Vielen vielen dank!!

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