Vereinigung von IR und IR [Topologie] |
| 28.05.2013, 20:42 | MurphysLaw | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Vereinigung von IR und IR [Topologie] Betrachten Sie nun den Raum X, der aus zwei Kopien von R mit der Ordnungstopologie entsteht, indem man alle Punkte außer den beiden ?Nullpunkten? paarweise identifiziert. ii) Geben Sie eine formale Definition des topologischen Raumes X als Quotientenraum auf (disjunkt) nach einer geeigneten ¨Aquivalenzrelation. iii) Finden Sie nun in X einen quasi-kompakten Unterraum, der nicht abgeschlossen ist. Meine Ideen: ii) ist ja recht einfach, die ÄR wird die form haben: x ~ y g.d.w. x=y, x,y != 0 Und die Menge wird so aussehen, dass es ein gewöhnlicher Zahlenstrahl ist, außer dass er sich in Null "teilt" und damit zwei Nullpunkte hat. soweit so gut. bei iii) steh ich jetzt aber ein bisschen auf dem Schlauch: Meine Lösung sieht wiefolgt aus: Zunächst sein einmal zu bemerken, dass die beiden Nullpunkte weiterhin disjunkt sind, d.h. weiterhin im Schnitt leer sind und des weiteren außerhalb dieser beiden Nullpunkte X die selben Eigenschaften hat wie der gewöhnliche IR. Jetzt habe ich mir einfach zwei Intervalle genommen: [o,x] und [ß,x] (mit x aus IR beliebig größer null, und o und ß die beiden (ja verschiedenen!) Nullpunkte) Da die beiden Mengen abgeschlossen sind und Homöomorph zum jeweiligen intervall [0,x] im ("gewöhnlichen") IR sind sind diese beiden Intervalle schonmal quasi-kompakt, d.h. zu jeder offenen Überdeckung findet man eine endliche Teilüberdeckung. Betrachte ich jetzt den Schnitt dieser beiden Intervalle bekomme ich ein Halboffenes Intervall der Art (o/ß , x], da o und ß ja weiterhin leeren Schnitt haben, ansonsten die Intervalle aber übereinstimmen. Dieses Intervall muss jetzt selber wieder quasi-kompakt sein, da der Schnitt diese Eigenschaft ja erhalten müsste (Schließlich hat jede Überdeckung der beiden Intervalle eine endliche Teilüberdeckung und damit wäre der Schnitt dieser Überdeckungen ein endlicher Schnitt offener Mengen und wäre eine endliche Überdeckung von (o/ß , x] ) Womit die Aufgabe ja eigentlich erledigt wäre Mein Problem ist jetzt allerdings, dass ich dieser Lösung einfach cniht traue - hauptsächlich wohl, weil sie gegen sämtliche Intuition spricht... Wäre nett wenn jemand drüber gucken könnte =) LG Tobi |
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| 28.05.2013, 21:38 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Verinigung von IR und IR [Topologie]
Wieso sind sie abgeschlossen?
Schnitte quasikompakter Mengen müssen nicht notwendiger quasikompakt sein. In Hausdorff-Räumen, d.h. für kompakte Mengen (ich schätze, ihr verwendet die Notation so) gälte das aber. |
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| 29.05.2013, 00:10 | MurphysLaw | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja sie sind eben abgeschlossen, weil sie so gewählt sind, also das abgeschlossene intervall [o,x] und das abg. Intervall [ß,x], das ist doch letztlich auch nur zweimal das Intervall [0,x] im IR, oder? Man findet ja auch einen Homöomorphismus zwischen dem Intervall und dem entsprechenden im IR (die Identität sogar wenn ich das richtig sehe)
Jap so verwenden wir die Notation, aber im Vorfeld ( i) ) haben wir gezeigt, dass ein Raum mit offener quasi-kompakter Teilmenge nicht Hausdorffsch sein kann, d.h., ich kann das ganze so nicht machen? Ich mein letztlich würde doch heißen, dass wenn es eine Überdeckung ohne endliche Teilüberdeckung gibt diese auch schon so in einer der vorherigen Mengen enthalten gewesen sein, oder? Sonst habe ich jetzt gerade auch keine Idee, welche Teilmenge ich dafür nehmen kann. Es wird eindeutig mit den Nullstellen zu tun haben (ansonsten ist es ja der ganz normale IR^1) Die möglichkeiten (die ich sehe) wären - (x,-x), das könnte man aber (denke ich zumindest) in (-x,o] und [ß,x) aufteilen, die ja beide wieder gleich den jeweiligen Intervallen im IR^1 sind und da dann auch schon nicht quasi-kompakt, deren Vereinigung also mit sicherheit auch nicht - (o,ß) ... Ich bezweifel, dass es so ein Intervall geben würde - würde es dass geben, schätze ich wäre dass ein offenes quasi-kompaktes Intervall, weil es ja nur die beiden Nullen enthält (bzw genau genommen ja nciht mal die...) und man dann auf jedenfall nur endliche überdeckungen finden würde. In der Quotiententopologie wären {o} und {ß} ja beide abgeschlossen, da sie von der ÄR nciht erfasst werden, also unverändert bleiben, d.h. auch die Vereinigung dieser beiden Mengen, also {o,ß} wäre abgeschlossen, also cniht dass, wonach man sucht (oder ist da ein Fehler im Verständnis von Produkttopologie?) - und halt das, was ich im ersten post geschrieben habe. Aber das scheitert ja daran, dass X nciht Hausdorffsch sein kann, wenn es das gewünschte (nciht abgeschlossene, quasi-kompakte) Intervall enthalten soll |
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| 29.05.2013, 06:43 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zunächst sind diese beiden Intervalle gar nicht abgeschlossen. Die Existenz des Homöomorphismus hast du auch nicht begründet. Argumentiere lieber über die Definition der Quotiententopologie. Und dass der Raum nicht hausdorffsch ist, sieht man leicht daran, dass es keine disjunkten Umgebungen der beiden Nullen gibt.
Nein, erstens sind deine gewählten Intervalle nicht abgeschlossen (was aber ganz praktisch ist) und zweitens ist deren Schnitt nicht quasi-kompakt.
Die Frage kann ich nicht entziffern. Von welcher Überdeckung (wovon?) sprichst du; worin soll sie inwiefern und wieso enthalten sein? |
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| 29.05.2013, 11:23 | MurphysLaw | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja aber warum? Dass [o,x]:=[o/ß , x] \ {ß} nicht die gleiche Menge ist wie [0,x] kann ich gerade nicht nachvollziehen - Homöomorphismus wäre da schließlich schon die Identität mit o -> 0 Die Mengen enthalten die exakt selben Elemente und - sollte ich die Quotiententopologie nicht bereits falsch sehen - auf [o,x] sollten Mengen auch genau dann offen sein, wenn sie es auf [0,x] sind Wo genau ist da also der Haken, dass das Intervall dennoch nciht abgeschlossen ist?
Das selbe wie oben - ich möchte dir gerne glauben, da die Lösung mir wie gesagt auch schwammig vorkam, aber wo genau scheitert es, also warum sind die Mengen nciht abgeschlossen?
ich meine: Enthielte (o/ß , x] eine Überdeckung, die keine endliche Teilüberdeckung enthält, so müsste die Überdeckung ja auch schon in [o,x] oder [ß,x] enthalten gewesen sein und auch da keine endliche Teilüberdeckung enthalten haben, da ich beim Schnitt ja auch nur nehme, was in beiden Mengen enthalten ist |
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| 29.05.2013, 20:05 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was ist denn das Urbild der Menge unter der Äquivalenzklassenbildung?
Wenn du mit letzterem Satz meinst, dass die Überdeckung auch eines der genannten "Intervalle" enthält: Nein! Genauso findet man im Reellen zu eine Überdeckung durch -Kugeln um Eins, welche die Null jedoch nicht überdeckt. |
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| 30.05.2013, 00:05 | MurphysLaw | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay, ich habe das Gefühl langsam zu verstehen, wo der Haken an der Sache ist. Die kanonische Abbildung p bildet mir {0} auf {o,ß} ab. Demnach ist die Umkehrabbildung von einer Teilmenge {[ô , x] \ {o}} (wobei ô := {o,ß} um die Intervallschreibweise zu verwenden) "nur" (0,x], da dass Urbild von {ô} und nicht von {ß} {0} ist? Und damit wäre die Menge nciht abgeschlossen. Wenn dem so ist, sollte die Menge [ô, x]\{o} aber die gesuchte Menge sein, da sie ja cniht abgeschlossen ist, jede Überdeckung aber eine endliche Teilüberdeckung besitzt, schließlich ist die Menge am einen Ende abgeschlossen und am anderen Ende ist {ß} in der Menge enthalten und man sich, wenn man sich {o} annähern möchte auch {ß} annähert (die beiden enthalten schließlich keine disjunkten Umgebungen) und damit nicht um jeden Punkt noch epsilon-kugeln (der Begriff ist gerade für meinen Kopf leichter zu handhaben als Umgebungen) existieren [also - wenn mich mein Verständnis gerade nicht trügt - sich die Menge wie ein abgeschlossenes Intervall in der Ordnungstopologie "verhält"]? |
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| 30.05.2013, 05:34 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was ist denn nun ?
Umkehrabbildung einer Teilmenge? Wenn das das Urbild sein soll: Nein. Wieso sollte das Urbild auch in liegen, wenn die Abbildung auf definiert ist? |
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