Taylorreihen

28.05.2013, 21:31	ottol	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihen Guten Abend alle miteinander! Ich sitze gerade an einer Aufgabe zum Thema Taylorreihen und habe Probleme mit dem Verständnis. Über Hilfe wäre ich dankbar. Die Aufgabe: Man bestimme die Taylorpolynome 0., 2. und 4. Ordnung von $\begin{eqnarray} m(v):=m_{0} \cdot \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} \end{eqnarray}$ bei v=0 und schätze die relativen Fehler $\begin{eqnarray} e_j = max_{\|x\|\leq \frac{c}{2} } \frac{\|m(v)-T_j[m,0](v)\|}{m_0} \end{eqnarray}$ für j=0,2,4 ab. Meine Fragen: Wir haben im Tutorium den Tipp erhalten m(v) irgendwie so umzuformen, dass wir den Term $\begin{eqnarray} (1+x)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ erhalten. Dies haben ich durch Substitution mit $\begin{eqnarray} x= - \frac{v^2}{c^2} \end{eqnarray}$ getan und erhalte dann mit Hilfe meines Skriptums, dass ich m(v) darstellen kann als: $\begin{eqnarray} m(v)=m_0 \cdot \sum\limits_{k=0}^\infty \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ n \end{pmatrix} \cdot (-\frac{v^2}{c^2} ) \end{eqnarray}$ Inwiefern hat dies nun etwas mit der Aufgabenstellung zu tun? Wenn ich die Summe jetzt nur bis 4 laufen lasse, habe ich dann mein Taylorpolyom 4. Grades? Wenn ja: warum? Ich verstehe nicht den Zusammenhang mit der Aufgabenstellung. MfG
28.05.2013, 21:34	ottol	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihen EDIT: -1/2 über k ist gemeint, nicht über n
28.05.2013, 21:37	ottol	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihen So ist es richtig: $\begin{eqnarray} m(v)=m_0 \cdot \sum\limits_{k=0}^\infty \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ k \end{pmatrix} \cdot (-\frac{v^2}{c^2} )^k \end{eqnarray}$ (Verzeihung für die Korrekturen)
29.05.2013, 06:09	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht jede Taylorreihe muss mittels Ableitungen ermittelt werde. Haupsache man erhält eine Potenzreihe. In diesem Fall lässt sich die Funktion durch die bekannte Binomialreihe $\begin{eqnarray} (1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty}\binom {\alpha}{k} x^k \quad \|x\|<1 \end{eqnarray}$ darstellen. $\begin{eqnarray} m(v)=m_0 (1+x)^{-\tfrac 12} \qquad \text{mit}\quad x=-(\tfrac vc)^2 \end{eqnarray}$ Die ersten 2 Glieder der Binomialreihe: $\begin{eqnarray} (1+x)^{-0.5}\approx 1+\frac 12 x -\frac18 x^2 \end{eqnarray}$ mit Einsetzen von $\begin{eqnarray} x=-(\tfrac vc)^2 \end{eqnarray}$ erhältst du die Taylorreihe bis zum Grade 4. Das ist dann dasselbe wie dein formales Ergebnis im letzten Beitrag für k=2. Den Faktor $\begin{eqnarray} m_0 \end{eqnarray}$ habe ich mal weggelassen, es geht ja bei der Massenzunahme nur um den Faktor $\begin{eqnarray} \gamma: \qquad m=\gamma \cdot m_0 \end{eqnarray}$ jetzt noch die Abschätzungen für $\begin{eqnarray} v \leq \frac12 c \end{eqnarray}$ für Geschwindigkeiten unterhalb der für Erdumlaufbahn notwendigen ist die Approximation sogar besser wie da Original, da die Taschenrechner meist bei ca. 10 Dezimalstellen enden. edit: c=299792458

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »