Ternärkörper und Projektive Ebenen

28.05.2013, 22:07	trixt@tor	Auf diesen Beitrag antworten »
Ternärkörper und Projektive Ebenen Die Aufgabe habe ich mal als Bild im Anhang hochgeladen. Ist glaube ich zielführender, wie zu versuchen, die hier nochmal einzutippen. Habe auch bei uns in der Bib relativ wenig Literatur zu diesem Thema gefunden. Hoffe also, dass hier überhaupt schonmal jemand davon gehört hat, und bin für jede Idee zur Lösung dankbar! Da ich ja zeigen soll, dass es sich um eine Projektive Ebene handelt gehe ich mal davon aus, dass ich zeigen muss, dass die Axiome einer Projektiven Ebene gelten. Dazu muss ich wahrscheinlich die Axiome, die einen Ternärkörper definieren aussnutzen. Ich habe allerdings keine Ahnung, wie ich das übereinander bringen soll
30.05.2013, 14:27	trixt@tor	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Vielleicht hilft es ja wenn ich noch ein paar Zusatzinfos gebe: Definition: Projektive Ebene Eine Inzidenzstruktur $\begin{eqnarray} \Pi =(\mathcal{P},\mathcal{G},I) \end{eqnarray}$ heißt projektive Ebene, wenn gilt: (I1) $\begin{eqnarray} p,q\in\mathcal{P},p\neq q \Rightarrow \exists ! G\in\mathcal{G} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p,qIG \qquad [G=pq] \end{eqnarray}$ (S) $\begin{eqnarray} G,H\in\mathcal{G},G\neq H \Rightarrow \exists ! p\in\mathcal{P} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} pIG,H \qquad [p=GH] \end{eqnarray}$ (E4) $\begin{eqnarray} \Pi \end{eqnarray}$ enthält ein Viereck, d.h. eine Menge von vier Punkten, von denen keine drei kollinear sind. Definition: Ternärkörper Eine Menge K mit einer ternären Verknüpfung $\begin{eqnarray} T: K\times K\times K\rightarrow K \end{eqnarray}$ heißt Ternärkörper, wenn gilt (T1) Es gibt $\begin{eqnarray} 0,1\in K \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 0\neq 1 \end{eqnarray}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray} a,b,c\in K \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} T(a,0,c)=T(0,b,c)=c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T(a,1,0)=T(1,a,0)=a \end{eqnarray}$ (T2) Für alle $\begin{eqnarray} a_1,a_1,c_1,c_2\in K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_1\neq a_2 \end{eqnarray}$ gibt es genau ein $\begin{eqnarray} x\in K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T(a_1,x,c_1)=T(a_2,x,c_2) \end{eqnarray}$ (T3) Für alle $\begin{eqnarray} a,b,c,d\in K \end{eqnarray}$ existiert genau ein $\begin{eqnarray} y\in K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T(a,b,y)=d \end{eqnarray}$ (T4) Für alle $\begin{eqnarray} b_1,b_2,d_1,d_2\in K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b_1\neq b_2 \end{eqnarray}$ existiert genau ein $\begin{eqnarray} (x,y)\in K^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T(x,b_1,y)=d_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T(x,b_2,y)=d_2 \end{eqnarray}$

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