Oberflächenintegral

29.05.2013, 10:50

curvefever

Oberflächenintegral

Liebes Forum,
ich hab noch eine Frage:

Also die Angabe lautet:
Sei F die Oberfläche des Paraboloids x^2 + y^2 +z <= 1 im Bereich z>= 0.
a) Geben Sie eine Parametrisierung von F an. ACHTUNG, sie besteht aus zwei Teilen!
b) Berechnen Sie die Oberfläche von F.
c) Sei Veltor v(x,y,z) = (y,-x,xy). Berechnen Sie den Fluss durch F bezüglich Vektor v.

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie man F parametrisiert!
ich hätte es mit x = r*cos y
y= r* sin y
z= z
gemacht!
Danach die Funktionaldeterminate berechnet und diese Integriert!

Was meint ihr? ich bin um jede Hilfe dankbar!

29.05.2013, 12:54

zyko

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RE: Oberflächenintegral

Zitat:

x = r*cos y
y= r* sin y
z= z

Bitte unbedingt vermeiden, dass y einmal als Koordinate und andererseits als Winkel interpretiert wird.
$\begin{eqnarray*} x = r*\cos (\phi) y= r*\sin (\phi) \phi \in [0, 2\pi] z =z \in [0, 1] r=1-z \end{eqnarray*}$
Als Parameter für die Oberflächenberechnung sind dann $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

s.a.
http://de.wikipedia.org/wiki/Oberfl%C3%A4chenintegral

29.05.2013, 15:52

Ehos

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Mit Hilfe des Gaußschen Satzes kann man das Oberflächenintegral in ein Volumenintegral umwandeln.

$\begin{eqnarray*} \int \int_{\text{Fläche}}\vec v\,\,d \vec A =\int \int \int_{\text{Volumen}} div (\vec v)\,\, dV \end{eqnarray*}$

Wie man leicht sieht, verschwindet $\begin{eqnarray*} div( \vec v)=\tfrac {\partial y}{\partial x}+\tfrac {\partial (-x)}{\partial y}+\tfrac {\partial (xy)}{\partial z} \end{eqnarray*}$ , so dass das Oberflächenintegral verschwindet.

30.05.2013, 11:58

zyko

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Mir ist ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen.
Es muss lauten:
$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{1-z} \end{eqnarray*}$

31.05.2013, 10:45

curvefever

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Danke sehr für die Hilfe!

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