Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion

29.05.2013, 12:18

Hm...

Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion

Hi Leute,

wisst ihr wie ich folgende verteilungsfunktion ausrechnen kann?

$\begin{eqnarray*} Sei~K~exponentialverteilt~zum~parameter~\alpha~und~sei ~ X~normalverteilt~zu~q,p \end{eqnarray*}$

gesucht: $\begin{eqnarray*} P(X=x,K=<t)=? \end{eqnarray*}$

29.05.2013, 15:13

Leopold

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RE: Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion :)

Zitat:

Original von Hm...
$\begin{eqnarray*} Sei~K~exponentialverteilt~zum~parameter~\alpha~und~sei ~ X~\color{red} normal \color{black} verteilt~zu~\color{red} q,p \end{eqnarray*}$

Das ist etwas irritierend. Die Parameter einer Normalverteilung werden üblicherweise als $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Oder ist eher eine Binomialverteilung gemeint? Dort sind die Parameter $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p+q = 1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Hm...
gesucht: $\begin{eqnarray*} P(X=x,K=<t)=? \end{eqnarray*}$

Sind $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ unabhängig? Dann einfach multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} P(X=x,K \leq t) = P(X=x) \cdot P(K \leq t) \end{eqnarray*}$

29.05.2013, 15:29

HAL 9000

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Auch dieses $\begin{eqnarray*} P(X=x,K \leq t) \end{eqnarray*}$ spricht für irgendeine diskrete Verteilung (und damit nicht Normalverteilung) von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , denn ansonsten wäre ja schlicht und einfach

$\begin{eqnarray*} P(X=x,K\leq t) = 0 \end{eqnarray*}$

für alle reellen $\begin{eqnarray*} x,t \end{eqnarray*}$ bei nicht mal geforderter Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

29.05.2013, 15:32

Hm...

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$\begin{eqnarray*} \mu ~ \sigma \end{eqnarray*}$ waren gemeint Augenzwinkern

in meiner wt1 prüfung habe ich die "krizel1" und "krizel2" genannt ^^

X,K sind nicht unabhänigig. ich les mich gerade in maßtheorie ein, eventuell gibt es dort etwas entsprechendes um diese wahrscheinlichkeit zu berechnen (in meiner wt1 wurde maßtheorie durch makrovketten ersetzt und wt2 höre ich erst im master - oder wenn der mond zufriert ^^).

an sich möchte ich den erwartungswert von X unter einer laufzeit t berechnen, dazu muss ich diese oben angegebene verteilung berechnen (oder noch besser die dichte) Tanzen

29.05.2013, 15:34

Hm...

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Zitat:

Original von HAL 9000
Auch dieses $\begin{eqnarray*} P(X=x,K \leq t) \end{eqnarray*}$ spricht für irgendeine diskrete Verteilung (und damit nicht Normalverteilung) von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , denn ansonsten wäre ja schlicht und einfach

$\begin{eqnarray*} P(X=x,K\leq t) = 0 \end{eqnarray*}$

für alle reellen $\begin{eqnarray*} x,t \end{eqnarray*}$ bei nicht mal geforderter Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

ich korrigiere mich $\begin{eqnarray*} P(X\leq x,K\leq t) = 0 \end{eqnarray*}$ möchte ich berechnen, derzeit sieht es so aus als müsste ich mich dazu in produktmaße einlesen, kann das sein?

29.05.2013, 17:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hm...
X,K sind nicht unabhänigig.

In dem Fall genügt die bloße Angabe der Randverteilungen (hier Exponential- bzw. Normalverteilung) NICHT, um die gemeinsame Verteilungsfunktion aufzustellen. Da musst du schon mit weiteren Informationen über die Struktur der Abhängigkeit rausrücken, etwa inhaltliche Zusammenhänge zwischen X und K o.ä. - sonst ist nix zu machen. unglücklich

29.05.2013, 17:53

Hm...

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Hm...
X,K sind nicht unabhänigig.

der inhaltliche zusammenhang ist etwas verwirrend. ich bin dabei ein monopoli ähnliches game/simulation (mal gucken was es wird) zu erstellen und möchte folgendes für meine KI bereitstellen:

input: zeitreihe der einnahmen eines "feldes"

output: zu erwartender umsatz des feldes in den nächsten t zeiteinheiten (runden)

dabei würde ich den umsatz X als Normalverteilte zufallsvariable annehmen und K als exponentialverteilte zeit.

den erwartungswert würde ich dann über $\begin{eqnarray*} P(X\leq x | K\leq t) \end{eqnarray*}$ berechnen (bzw obere und untere schranke oder irgendwie so).

den "partiellen" erwartungswert von X und K sowie deren varianz kann ich aus der zeitreihe ablesen.

29.05.2013, 18:07

HAL 9000

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Es geht als gar nicht um die Berechnung der zweidimensionalen Verteilung, sondern überhaupt erst mal um die Modellbildung! Wenn ich dich richtig verstanden habe, hast du lediglich empirische Daten, auf deren Grundlage dieses Modell erst zu entwickeln ist - die Daten könnten dann dazu dienen, irgendwelche Modellparameter zu schätzen. Aber das Modell an sich stellt sich nicht von alleine logisch auf. unglücklich

29.05.2013, 18:29

Hm...

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es geht als gar nicht um die Berechnung der zweidimensionalen Verteilung, sondern überhaupt erst mal um die Modellbildung! Wenn ich dich richtig verstanden habe, hast du lediglich empirische Daten, auf deren Grundlage dieses Modell erst zu entwickeln ist - die Daten könnten dann dazu dienen, irgendwelche Modellparameter zu schätzen. Aber das Modell an sich stellt sich nicht von alleine logisch auf. unglücklich

ich dachte das wäre ein gutes modell:

ich berechne den erwartungswert und die varianz von X indem ich den mittelwert der zeitreihe bilde und analog berechne ich die varianz.

die fasse die einzelnen werte der zeitreihe als unabhänig, identische verteilt auf und nutze dann den ZGWS um zu folgdern, dass die z-transofmration von X standartnormalverteilt ist (die varianz und den erwartungswert von X habe ich ja bereits).

analog berechne ich einen erwartungswert zu K und nehme K als exponentielverteilt an.

daraus ergibt sich mir folgendes ziel:
berechnen von E(X unter K<=t)

wie ich diesen erwartungswert ausrechne weiß ich erst wenn ich weiß wie meine wahrscheinlichkeitsfunktion aussieht (entweder definiere ich X auf N oder auf R, beides sollte kein problem darstellen).

habe ich hier irgendwo einen denkfehler oder fehlt irgendetwas? smile

29.05.2013, 18:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hm...
daraus ergibt sich mir folgendes ziel:
berechnen von E(X unter K<=t)

Wie "Ziel"? Hast du dafür ein Modell mit nur noch zu schätzenden Parametern? verwirrt

Alles noch reichlich verschwommen, ich stochere noch reichlich im Nebel, was du eigentlich willst. unglücklich

-----------------------------------------------------------

Ok, ein konkretes Beispiel zur Untermalung des Problems:

Seien $\begin{eqnarray*} U,V \end{eqnarray*}$ unabhängig standardnormalverteilt, sowie $\begin{eqnarray*} \beta \in [-1,1] \end{eqnarray*}$ ein reeller Parameter. Dann erfüllt

$\begin{eqnarray*} X &=& \mu + \sigma U \\ K &=& -\frac{1}{\alpha} \ln\left( \Phi\left(-\beta U + \sqrt{1-\beta^2}V\right) \right) \end{eqnarray*}$

deine Bedingungen $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K\sim\operatorname{Exp}(\alpha) \end{eqnarray*}$ , es ergibt sich aber je nach Wahl von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ eine andere gemeinsame Verteilung! Natürlich könnte man versuchen, dieses $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ aus vorhandenen Stichprobendaten zu schätzen, aber bereits die Wahl dieses obigen gemeinsamen Ansatzes war eine ziemliche Willkür, die von mir ausschließlich mit der Vorgabe "die Randverteilungen müssen stimmen" aufgestellt wurde.

Für $\begin{eqnarray*} \beta=0 \end{eqnarray*}$ ergeben sich unabhängige Komponenten $\begin{eqnarray*} X,K \end{eqnarray*}$ , während in den Extremfällen $\begin{eqnarray*} \beta=\pm 1 \end{eqnarray*}$ sich deterministische Abhängigkeiten zwischen beiden auftun, dazwischen die Grauzonen mit mehr oder weniger korrelierten Komponenten.

Und wie gesagt, das ist nur eine Möglichkeit, eine derartige zweidimensionale Verteilung zu modellieren, es gibt unendlich viele weitere. Und es ist kaum anzunehmen, dass der obige Ansatz auch nur einigermaßen die realen Daten repräsentiert.

30.05.2013, 11:49

Hm...

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ah, ok danke - ich glaube ich habe verstanden wo mein fehler lag.

d.h. ist suche ... hm... ein buch ^^

am ende möchte ich berechnen können, welchen umsatz ich von einem bestimmten feld in einer bestimmten zeit zu erwarten habe.

hierbei möchte ich über wahrscheinlichkeiten gehen, weil gradientenferfahren wie neuronale netze, regression etc. einige eklige fehler bauen. zb:

lerndaten: zeitreihen werte von z sollen approximiert werden:
x y z
1 1 1
0 0 1

gradientenverfahren würde eine funktion f konstruieren mit: f(1,1)=1/2=f(0,0)

über wahrscheinlichkeiten hätte ich im gleichen beispiel: P(z=1| x=1, y=1)=0.5, P(z=1|x=0,y=0), was ich verständlich (richtiger :hammer smile

finde

kannst du mir einen tipp geben unter welchen "nachschlage begriffen"/büchern ich informationen finde, zum stochhastischen lösen von:

"am ende möchte ich berechnen können, welchen umsatz ich von einem bestimmten feld in einer bestimmten zeit zu erwarten habe."

Freude

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