Konvergenz einer Reihe

29.05.2013, 12:40

nox304

Konvergenz einer Reihe

Hallo,

ich hänge an folgendem Beweis:

Sei q $\begin{eqnarray*} \in~\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit lql < 1.
Zeigen Sie: Reihe von n=1 bis Unendlich; n^k q^n konvergiert.

Mit welchem Kriterium fängt man da am Besten an ?

29.05.2013, 13:13

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Kommt drauf an, welche Kriterien du so kennen gelernt hast.

Ist das Schulmathe?

29.05.2013, 13:15

nox304

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RE: Konvergenz einer Reihe
Analysis I 1. Semester Mathestudium.

Cauchy-Kriterium, Leibniz Kriterium, Majoranten Kriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium

29.05.2013, 13:51

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Ja dann probier doch mal was. Welches Kriterium kommt vorneherein nicht in Frage?

29.05.2013, 13:57

nox304

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RE: Konvergenz einer Reihe
Wurzel und Leibnizkriterium fallen raus.

29.05.2013, 14:15

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Beim Leibnizkriterium stimme ich zu. Aber warum sollte das Wurzelkriterium rausfallen?

30.05.2013, 11:56

nox304

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RE: Konvergenz einer Reihe
Woran erkenne ich denn welches Kriterium Sinn machen könnte ?

Genau das ist ja der Punkt. Ich habe nicht wirklich den Blick dafür.
Natürlich könnte man jetzt mal einfach mal anfangen und probieren.
Aber gerade im Hinblick auf eine spätere Klausur, bei der eben die Zeit eine Rolle spielt wäre es doch ganz sinnvoll zu erkennen wie man am Besten anfängt.

Oder kommt das einfach im Laufe der Zeit ?
Ich vermute mal je nach Aufgabentyp kommt ein anderes Kriterium in Frage.

Das Wurzelkriterium könnte hier wohl doch Sinn machen weil ich Potenzen hab

30.05.2013, 13:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von nox304
Das Wurzelkriterium könnte hier wohl doch Sinn machen weil ich Potenzen hab

Ja, allerdings benötigst du dazu die Hilfsaussage $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$ - keine Ahnung, ob die dir zur Verfügung steht.

Aus Sicht einer möglichst elementaren Lösung bietet sich das Quotientenkriterium an.

Zitat:

Original von nox304
Woran erkenne ich denn welches Kriterium Sinn machen könnte ?

Genau das ist ja der Punkt. Ich habe nicht wirklich den Blick dafür.
Natürlich könnte man jetzt mal einfach mal anfangen und probieren.

So ist es, denn das kann dich nur die Erfahrung durch Üben lehren. Alle aufgelisteten und gepaukten Kriterien-Empfehlungen können dich nicht davor bewahren, gelegentlich Fehlschläge mit einzelnen Kriterien zu erfahren.

30.05.2013, 21:22

nox304

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Mit dem Quotientenkriterium

$\begin{eqnarray*} \frac {(n+1)^k*q^{n+1}} {n^k*q^n} \end{eqnarray*}$

erhalte ich ja relativ leicht

$\begin{eqnarray*} (1+ \frac {1} {n})^k * q \end{eqnarray*}$

Wie mache ich da nun weiter ?
Ich weiß ja nur dass $\begin{eqnarray*} (1+ \frac {1} {n})^n \end{eqnarray*}$ gegen e konvergiert.
Hilft mir das hier was ?

Was hilft mir denn dass q € {-1;1} ist ?
Das machts doch eher schwieriger weil ja auch negative Werte für q im Spiel sein könnten.

30.05.2013, 21:40

HAL 9000

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Bitte genau arbeiten:

Da steht nicht $\begin{eqnarray*} \left(1+ \frac {1} {n}\right)^n \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \left(1+ \frac {1} {n}\right)^k \end{eqnarray*}$ , und dies für festes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ . Das konvergiert nicht gegen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ , sondern gegen ... ?

30.05.2013, 21:44

nox304

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Ah vielen Dank.

Geht gegen 1.

30.05.2013, 21:51

HAL 9000

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Genau.

31.05.2013, 09:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von nox304
Mit dem Quotientenkriterium

$\begin{eqnarray*} \frac {(n+1)^k*q^{n+1}} {n^k*q^n} \end{eqnarray*}$

erhalte ich ja relativ leicht

$\begin{eqnarray*} (1+ \frac {1} {n})^k * q \end{eqnarray*}$

Genau genommen muß es $\begin{eqnarray*} \left | \frac {(n+1)^k*q^{n+1}} {n^k*q^n} \right | \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} |(1+ \frac {1} {n})^k * q| \end{eqnarray*}$ heißen. Da nun geklärt ist, daß $\begin{eqnarray*} (1+ \frac {1} {n})^k \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert, fehlt noch der abschließende Schritt von dem Kriterium.

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