Warum hat die Cäsar-Verschlüsselung keinen Fixpunkt?

29.05.2013, 10:50

caesar101

Warum hat die Cäsar-Verschlüsselung keinen Fixpunkt?

Hi,

es gilt ja die Definition:

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Menge und $\begin{eqnarray*} f \colon X \to X \end{eqnarray*}$ eine Abbildung. Dann heißt ein Punkt $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ Fixpunkt, falls $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun ist die Cäsar-Verschlüsselung angeblich keine Fixpunkte. Definiert ist sie wie folgt:

$\begin{eqnarray*} e_k(x)=x+k \text{~mod~} 26 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{Z}_{26} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z}_{26} \end{eqnarray*}$ .

Berechnung des Fixpunkts:

$\begin{eqnarray*} e(x) = x = x+k \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} k = 0 \end{eqnarray*}$ geeignet aus $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z}_{26} \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} e(x) = x = x+0 = x \end{eqnarray*}$ . Damit habe ich einen Fixpunkt gefunden.

Wo liegt mein Denkfehler?

29.05.2013, 10:53

watcher

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Hallo,

Zitat:

Wähle $\begin{eqnarray*} k = 0 \end{eqnarray*}$ geeignet aus $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z}_{26} \end{eqnarray*}$ ,

Wenn du k festlegst hast du danach keine Wahl mehr.

Und die Caesar-Chiffre mit k=0 ist grade die nicht-Verschlüsselung.

29.05.2013, 11:29

caesar101

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Das verstehe ich noch nicht so ganz. Ich darf doch per Definition $\begin{eqnarray*} k=0,~k\in\mathbb{Z}_{26} \end{eqnarray*}$ wählen (gleichwohl mir bewusst ist, dass das gerade die Nichtverschlüsselung ist), dann gilt doch für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} e(x)=x \end{eqnarray*}$ . verwirrt

29.05.2013, 11:36

watcher

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Natürlich darfst du k=0 wählen. Da dort gar nichts verschlüsselt wird überascht es auch nicht dass alle Elemente Fixpunkte sind. Aber es ist halt auch keine Verschlüsselung.

Und k=0 als Element Restklassenring mit 26 Elementen betrachtet ist das Nullelement.
Daher meine Verwunderung über den Zusatz nach k=0.

29.05.2013, 11:37

Leopold

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Klar, für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} e_k \end{eqnarray*}$ die Identität, also jeder Punkt Fixpunkt. Für eine echte Verschlüsselung darfst du aber gerade nicht $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ wählen. Und dann gibt es auch keine Fixpunkte.
So ist das hier gemeint, und du solltest da nicht den Wortklauber spielen.

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