Lineare Unabhängigkeit

29.05.2013, 14:13

MatheNoobii

Lineare Unabhängigkeit

Es sei V ein Vektorraum über K. Beweise oder widerlege:

i) sind $\begin{eqnarray*} x,y,z \in V \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, so sind auch $\begin{eqnarray*} x,x+y,x+y+z \end{eqnarray*}$ linear unabhängig

$\begin{eqnarray*} \alpha x + \beta y + \gamma z = 0 \end{eqnarray*}$ mit a=b=c=0

und

$\begin{eqnarray*} \alpha x + \beta x + \beta y +\gamma x +\gamma y + \gamma z = 0 \end{eqnarray*}$

Umsortieren:

$\begin{eqnarray*} x(\alpha + \beta +\gamma) + y(\beta +\gamma) + z (\gamma)= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \gamma = 0 \Rightarrow \beta = 0 \Rightarrow \alpha = 0 \end{eqnarray*}$

die Vektoren sind auch linear unabhängig!

Bin mir irgendwie gerade unsicher, aber das passt so oder?

Vielen Danke für Eure Hilfe!

Gruß Mathenoobi

29.05.2013, 14:27

Leopold

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Die Lösung ist unverständlich. Das beginnt schon damit, daß aus der Lösung nicht hervorgeht, daß du weißt, wann man Vektoren linear unabhängig nennt. Kannst du einmal in aller Ausführlichkeit darlegen: Wann sind drei Vektoren $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ linear unabhängig?

29.05.2013, 14:35

MatheNoobii

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$\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} a u + b v + c w = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ die einzige Lösung ist!

29.05.2013, 14:38

MatheNoobii

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Dann habe ich angenommen, dass auch die Vektoren $\begin{eqnarray*} x,x+y,x+y+z \end{eqnarray*}$ linear unabhängig seien, also auch die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} ax+b(x+y)+c(x+y+z)= 0 \end{eqnarray*}$ aufgestellt und angenommen die einzige Lösung sei: $\begin{eqnarray*} a=b=c = 0 \end{eqnarray*}$

29.05.2013, 14:41

MatheNoobii

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Diese habe ich dann umgeformt zu :

$\begin{eqnarray*} x(a+b+c) + y(b+c) + z (c)= 0 \end{eqnarray*}$

Und hier bin ich der Ansicht, dass aus dieser Gleichung deutliche wird, dass die einzige Lösung $\begin{eqnarray*} a=b=c = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

29.05.2013, 14:43

Leopold

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Zitat:

Original von MatheNoobii
$\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} a u + b v + c w = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ die einzige Lösung ist!

Die Kombination der beiden Gleichungen mittels "und" ergibt keinen Sinn. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} u,v,w \ \text{linear unabhängig} \ \ \Leftrightarrow \ \ au+bv+cw = 0 \ \text{ist nur (!) für} \ a=b=c=0 \ \text{erfüllt} \end{eqnarray*}$

Wenn du daher zeigen willst, daß $\begin{eqnarray*} x,x+y,x+y+z \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, mußt du von

$\begin{eqnarray*} ax + b(x+y) + c(x+y+z) = 0 \end{eqnarray*}$

ausgehen, darfst aber über $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ keine weiteren Voraussetzungen machen. Vielmehr mußt du zeigen, daß aus dieser Gleichung zwangsläufig $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ folgt.

Jetzt sortierte das um und bringe es auf die Form $\begin{eqnarray*} \left( \ldots \right) x + \left( \ldots \right) y + \left( \ldots \right) z = 0 \end{eqnarray*}$ , so daß die Klammern nur noch Ausdrücke in $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ enthalten.

29.05.2013, 14:47

Leopold

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O.k., du hast schon weiter gemacht. Bitte beachte zunächst, daß bei der skalaren Multiplikation Skalare immer links von Vektoren stehen. Du hast kein Recht, die einfach rechts hinzuschreiben. Es handelt sich hier nicht um ein Produkt gleichberechtigter Faktoren.

Jetzt weißt du doch, daß $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind (das ist vorausgesetzt!). Was folgt daraus über die Vorfaktoren? Bitte ganz ausführlich!

29.05.2013, 14:51

MatheNoobii

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Okay ich überlege mir das jetzt, kann jedoch erst später antworten! Sorry unglücklich

29.05.2013, 19:04

MatheNoobii

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$\begin{eqnarray*} (a+b+c)x + (b+c)y + (c)z= 0 \end{eqnarray*}$

Also ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Die Gleichung muss jetzt zwangsläufig $\begin{eqnarray*} a=b=c = 0 \end{eqnarray*}$ ergeben, da folgendes gelten muss, damit die 3 Vektoren lin. unabh. sind:

$\begin{eqnarray*} a+b+c=b+c=c=0 \end{eqnarray*}$

Hieraus folgt, dasss $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Dann folgt aus $\begin{eqnarray*} b+c=0 \Rightarrow b=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a=0 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} a+b+c=0 \end{eqnarray*}$

Also sind die 3 Vektoren linear unabhängig, da $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ die einzige Lösung ist.

29.05.2013, 20:10

Leopold

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Zitat:

Original von MatheNoobii
Die Gleichung muss jetzt zwangsläufig $\begin{eqnarray*} a=b=c = 0 \end{eqnarray*}$ ergeben, da folgendes gelten muss, damit die 3 Vektoren lin. unabh. sind:

Das stimmt nicht. "Weil", nicht "damit" die drei Vektoren linear unabhängig sind! Welche übrigens? Ich hoffe, du meinst $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ .

Falls der zitierte Satz kein Glied der Argumentation, sondern eine Handlungsanweisung an dich selbst darstellen soll, muß das sprachlich zum Ausdruck gebracht werden. Etwa so: Unser Ziel ist zu zeigen, daß sich $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ ergeben muß, was die lineare Unabhängigkeit der Vektoren $\begin{eqnarray*} x,x+y,x+y+z \end{eqnarray*}$ bedeuten würde. Es muß auch immer klar sein, von welchen drei Vektoren die Rede ist: von $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ ? oder von $\begin{eqnarray*} x,x+y,x+y+z \end{eqnarray*}$ ?

Mathematik hat viel mit korrekter Sprache zu tun.

30.05.2013, 11:02

MatheNoobii

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Okay, ja an meiner Ausdrucksweise muss ich noch üben!
Aber ansonsten passt es jetzt oder?

$\begin{eqnarray*} x,x+y,x+y+z \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig!

30.05.2013, 11:34

MatheNoobii

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RE: Lineare Unabhängigkeit
Habe hier noch eine Aufgabe: Teil b)

Sind die Mengen $\begin{eqnarray*} \{x,y\},\{x,z\},\{y,z\} \end{eqnarray*}$ jeweils linear unabhängig, so ist auch $\begin{eqnarray*} \{x,y,z \} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Aus der Voraussetzung ( $\begin{eqnarray*} \{x,y\},\{x,z\},\{y,z\} \end{eqnarray*}$ sind lin. unabh.) folgt:

$\begin{eqnarray*} ax+by=0 , ax+cz=0, by +cz= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax+by=ax+cz=by +cz= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax+by+ax+cz+by+cz= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+a)x+(b+b)y+(c+c)z= 0 \end{eqnarray*}$

Ich bin mir wieder überhaupt nicht sicher?
Habe ich die Koeffizienten richtig gewählt?
Meiner Meinung nach wären die Menge $\begin{eqnarray*} \{x,y,z \} \end{eqnarray*}$ linear abhängig.

Bitte um Hilfe!

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