Konvergenz

29.05.2013, 18:13

SirIsaacNewton111

Konvergenz

Meine Aufgabe: Entscheide ob ( absolute) konvergenz oder divergenz.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{sin\left(\frac{1}{k}\right) }{k} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Eine Vergleichsreihe finden, um die divergenz oder konvergenz nachzuweisen. Ich glaube das 1/k eine Majorante ist, aber mit Majoranten darf ich nur die Konvergenz zeigen. Ähnliche Reihen kenn ich leider nicht.

29.05.2013, 18:18

HAL 9000

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Anscheinend hast du dich mit dem oberen Index $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vertan und meinst statt dieser Summe die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\sin\left( \frac{1}{k} \right) \end{eqnarray*}$ .

Die von dir verwendete Abschätzung $\begin{eqnarray*} |\sin(x)|\leq 1 \end{eqnarray*}$ liefert nur eine divergente Majorante, was nix bringt.

Es gilt aber auch $\begin{eqnarray*} |\sin(x)| < |x| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ... smile

29.05.2013, 18:30

SirIsaacNewton111

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Da hätte ich wohl selbst draufkommen sollen das man es so umschreiben soll! xD. Kannst du zuvor meine Frage beantworten, den ich weiss noch nicht ganz weiter

1) Wenn ich eine Reihe wie hier habe, sodass der Zähler gegen Null und der Nenner gegen Unendlich läuft bei der aufsummierung ist das konvergent oder divergent ?

29.05.2013, 18:41

Leopold

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Anscheinend hast du den Hinweis von HAL 9000 nicht verstanden. Verwende seine Abschätzung für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ . Betragsstriche können hier entfallen, da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ beide $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ sind.

29.05.2013, 18:57

SirIsaacNewton111

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Dann glaube ich das ich irgendwie an eine konvergente Majorante komme? Wie z.b. der Reihe 1/k^2 ?

29.05.2013, 18:59

Leopold

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Schon besser.

29.05.2013, 19:02

SirIsaacNewton111

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Die ist konvergent, denn betrachte ich

1/k * 1/k was 1/k^2 ist, so ist diese konvergent (beide Faktoren laufen gegen Null)

Betrachte ich nun 1/k*sin(1/k) so laufen auch beide Faktoren gegen Null, und nach dem Gesetz von HAL 900 muss gelten das sin (1/k) kleiner ist als 1/k und stattdesen kann ich für die konvergente reihe was 1/k^2 ist, so ist diese konvergent (beide Faktoren laufen gegen Null)
folgendes einsetzen:

1/k *sin (1/k) und diese ist konvergent da ihre Majorante konvergiert!

29.05.2013, 19:06

SirIsaacNewton111

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Eine Allgemeine Frage:

Wenn ich als Reihe zwei bzw mehr Produkte habe, die alle gegen Null laufen, würde mich interessieren ob diese immer konvergent sind, denn es gilt Reihe mit x Produkten wobei jeder Faktor gegen Null läuft ist immer kleiner als Reihe 1/k^x, wobei x größer als 1 ?

29.05.2013, 19:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von SirIsaacNewton111
denn es gilt Reihe mit x Produkten wobei jeder Faktor gegen Null läuft ist immer kleiner als Reihe 1/k^x, wobei x größer als 1 ?

Wieso soll das gelten? Nehmen wir x=2 und die beiden Nullfolgen

$\begin{eqnarray*} a_k = b_k = \frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ ,

dann ist weder $\begin{eqnarray*} a_kb_k < \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ noch etwa $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_kb_k \end{eqnarray*}$ konvergent. unglücklich

P.S.: Eine etwas leichtsinnige Auffassung des Begriffs "Nullfolge" war das da eben von dir.

29.05.2013, 19:33

SirIsaacNewton111

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Ok gut, das ist aber eine Ausnahme da es sich um eine quadratWurzel handelt und sich die Wurzel auflöst. Foglich entsteht die harmonische Reihe, die bekanntlich divergent ist. Big Laugh

Ist denn jetzt eig. 1/k^3 als majorante zb zulässig für die im ersten Post genannte Aufgabe?

29.05.2013, 19:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von SirIsaacNewton111
Ok gut, das ist aber eine Ausnahme da es sich um eine quadratWurzel handelt und sich die Wurzel auflöst.

Inwiefern soll das eine "Ausnahme" sein?`Sind dann

$\begin{eqnarray*} a_k = b_k = \frac{1}{\ln(k)} \end{eqnarray*}$

auch Ausnahmen? Wie lang soll die Ausnahmeliste werden? Augenzwinkern

29.05.2013, 20:34

IsaacNewton

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du hast recht! Augenzwinkern

Mich würde denoch noch interesiieren wie du sofort erkennst das 1/khoch2 eine Majo. ist? Du hast diese Ungleicuhg genannt aber wie wende ich das hier an?

29.05.2013, 22:56

SirIsaacNewton

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ist den nun 1/k^2 richtig denn diese ist 100% größer gleich als sin(1/k)/k

29.05.2013, 23:26

HAL 9000

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Ja, das ist eine passende konvergente Majorante.

29.05.2013, 23:34

SirIsaacNewton

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Zitat: