Bestimmung des Kerns eines Polynomraums(Lineare Abbildung)

29.05.2013, 18:14

voodoo666

Bestimmung des Kerns eines Polynomraums(Lineare Abbildung)

Meine Frage:
Hallo! Ich stehe vor einem Problem dass ich leider nicht eigenständig zu lösen vermag.

Aufgabe ist es den Kern folgender linearer Abbildung zu bestimmen. Desweiteren wird die Berechnung seiner Dimension gefordert.

$\begin{eqnarray*} L: \mathbb R\leq4\left[x\right] \Rightarrow \mathbb R^{2,2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e \Rightarrow \begin{pmatrix} d+2c & 3a+b\\ c-d & 2d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Setze ich das $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} d+2c & 3a+b\\ c-d & 2d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gleich der Nullmatrix und löse das Gleichungssystem, komme ich für die Parameter auf folgende Lösungen:

d = 0
c = 0
b = -3a

Wie formuliere ich nun den Kern in korrekter Schreibweise? Bei linearen Abbildungen mit Vektoren/Matrizen kann ich dies problemlos, nur bei Polynomen weiss ich nicht genau wie man dies formulieren kann.

Danke im Vorraus für jegliche Hilfe!

29.05.2013, 19:09

sbh

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RE: Bestimmung des Kerns eines Polynomraums(Lineare Abbildung)
Wie würdest du es denn aufschreiben, wenn du z.B. im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ mit Basis $\begin{eqnarray*} \{ v_1, . . . ,v_5\} \end{eqnarray*}$ wärst.

29.05.2013, 21:28

voodoo666

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RE: Bestimmung des Kerns eines Polynomraums(Lineare Abbildung)

Zitat:

Original von sbh
Wie würdest du es denn aufschreiben, wenn du z.B. im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ mit Basis $\begin{eqnarray*} \{ v_1, . . . ,v_5\} \end{eqnarray*}$ wärst.

Weiss nicht ob ich dich richtig verstanden hab, aber ich denke in diesem Fall würde ich einen der abhängigen Parameter als s definieren und dann den Kern als linearkombination der Basen aufschreiben.

Bei meinem Beispiel, sagen wir ich definiere a := s.

Könnte ich den Kern dann einfach so schreiben:

$\begin{eqnarray*} Kern(L)= \left\{ sx^{4}+ (-3s)x^{3} + e|s,e\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

s frei wählbar, Parameter b = -3s, Parameter e ebenfalls frei wählbar da überhaupt nicht in der Abbildung vorhanden.

Wäre das korrekt? Wichtig ist mir vorallem die 100%ig korrekte Schreibweise, ich werde eventuell aufgrund der Hausaufgaben nicht zur Klausur Lineare Algebra zugelassen, es geht um jeden Punkt.

Grüße

29.05.2013, 21:41

sbh

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RE: Bestimmung des Kerns eines Polynomraums(Lineare Abbildung)
Da liegt ja mal überhaupt kein Druck dann jetzt auf mir Big Laugh

Die Menge drückst du ja schon korrekt aus. Alternativ kannst du es natürlich auch als Untervektorraum aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} Kern(L) = Lin((x^4-3x^3), (1)) \end{eqnarray*}$ (wieso gilt die Gleichheit?)

was für mir persönlich sinnvoller erscheint, da du noch die Frage nach der Dimension beantworten musst.

29.05.2013, 21:50

voodoo666

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RE: Bestimmung des Kerns eines Polynomraums(Lineare Abbildung)

Zitat:

Original von sbh
Da liegt ja mal überhaupt kein Druck dann jetzt auf mir Big Laugh

Verstehe. Du schreibst das einfach als Untervektorraum auf und nimmst die einzelnen Basen als Elemente. Was meinst du mit Lin()?
Die Dimension ist also 2? Aus meiner Schreibweise hätte ich ehrlich gesagt dass es sich bei der Dimension des Kerns um 3 handelt.

Abschliessende Frage:
In der nachfolgenden Aufgabe soll ich ohne Berechnung des Bildes die Dimension des Bildes von L berechnen. Offensichtlicherweise muss ich hier den Dimensionsatz anwenden.

Sehe ich das richtig dass die Dimension des Urbildraums 5 beträgt? Danke für deine Hilfe!

Grüße

29.05.2013, 22:01

sbh

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RE: Bestimmung des Kerns eines Polynomraums(Lineare Abbildung)
Naja, du hast ja 2 voneinander unabhängig wählbare variablen s und e, was rein intuitiv schon für Dimension 2 spricht.
-----
Wir sind noch im gleichen Raum? ok.

Ja. Überleg dir doch mal eine Basis für den Vektorraum.

30.05.2013, 13:32

voodoo666

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RE: Bestimmung des Kerns eines Polynomraums(Lineare Abbildung)

Zitat:

Original von sbh
Naja, du hast ja 2 voneinander unabhängig wählbare variablen s und e, was rein intuitiv schon für Dimension 2 spricht.
-----
Wir sind noch im gleichen Raum? ok.

Ja. Überleg dir doch mal eine Basis für den Vektorraum.

Danke! Also ist die Dimension des Bildes nach Dimensionssatz gleich 3.

Wie bestimme ich ob es sich um eine injektive,surjektive bzw bijektive Abbildung handelt?

Mfg

30.05.2013, 13:43

sbh

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RE: Bestimmung des Kerns eines Polynomraums(Lineare Abbildung)
Überleg mal

du hast ja richtig gesehen, dass $\begin{eqnarray*} dim( \{ f \in \mathbb R [x] |deg(f) \leq 4 \} ) =5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2 \times 2} \cong \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , sollte klar sein

kann eine Abbildung zwischen beiden bijektiv sein?

Wie müssten die Dimensionen sein, wenn L surjektiv wäre? Wie wenn L injektiv wäre?

30.05.2013, 13:52

voodoo666

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RE: Bestimmung des Kerns eines Polynomraums(Lineare Abbildung)

Zitat:

Original von sbh
Überleg mal

du hast ja richtig gesehen, dass $\begin{eqnarray*} dim( \{ f \in \mathbb R [x] |deg(f) \leq 4 \} ) =5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2 \times 2} \cong \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , sollte klar sein

kann eine Abbildung zwischen beiden bijektiv sein?

Wie müssten die Dimensionen sein, wenn L surjektiv wäre? Wie wenn L injektiv wäre?

Also Injektivität kann ich ausschliessen, da ja schon der Kern mehr als nur ein einziges Element besitzt, sprich ich unendlich Möglichkeiten habe den Nullvektor abzubilden. Richtig? Injektivität wäre also nur möglich wenn Urbildraum sowie Bildraum die gleiche Dimension besitzen.

Somit fällt auch Bijektivität ins Wasser.

Surjektivität heisst wenn ich mich nicht täusche, dass jeder Funktionswert des Bildraums auch angenommen werden kann. Mathematisch gesehen bedeutet dies ja dass das Bild der linearen Abbildung der ganze Bildraum ist, was ja im Fall meiner Abbildung nicht sein kann, da dim(Kern) ungleich 0.

Habe ich das beides korrekt interpretiert? Die Abbildung ist weder injektiv noch surjektiv?

Wenn ja, wie formulier ich das mathematisch korrekt.

Grüße!

30.05.2013, 14:29

sbh

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RE: Bestimmung des Kerns eines Polynomraums(Lineare Abbildung)
Injektivität passt. Das ausschlaggebende Argument ist die Betrachtung des Kerns.

Surjektivität geht so aber nicht. Dein $\begin{eqnarray*} \{ f \in \mathbb R [x]| deg(f) \leq 4\} \end{eqnarray*}$ ist ja "größer" als $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ . Da "muss" der kern einer lin. surj. Abb ja schon mehr als die 0 sein (Bildlich gesprochen)

Bsp:
$\begin{eqnarray*} \pi : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R : \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow x \end{eqnarray*}$
ist Surjektiv, wie man einfach nachrechnet, aber der $\begin{eqnarray*} Kern(\pi) = Lin(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

Betrachte mal die Dimensionen vom Bild von L und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ . Wie sähe die Dimension vom Bild von L aus wenn L subjektiv wäre?

30.05.2013, 16:36

voodoo666

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RE: Bestimmung des Kerns eines Polynomraums(Lineare Abbildung)

Zitat:

Original von sbh
Injektivität passt. Das ausschlaggebende Argument ist die Betrachtung des Kerns.

Surjektivität geht so aber nicht. Dein $\begin{eqnarray*} \{ f \in \mathbb R [x]| deg(f) \leq 4\} \end{eqnarray*}$ ist ja "größer" als $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ . Da "muss" der kern einer lin. surj. Abb ja schon mehr als die 0 sein (Bildlich gesprochen)

Bsp:
$\begin{eqnarray*} \pi : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R : \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow x \end{eqnarray*}$
ist Surjektiv, wie man einfach nachrechnet, aber der $\begin{eqnarray*} Kern(\pi) = Lin(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

Betrachte mal die Dimensionen vom Bild von L und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ . Wie sähe die Dimension vom Bild von L aus wenn L subjektiv wäre?

Danke für die schnelle Antwort. Dimension vom Bild von L ist ja 3. Dimension R2x2 ist 4 oder? Also normalerweise überleg ich mir bei Surjektivität ob jeder Wert des Bildraums auch angenommen werden kann. Bei deinem Beispiel $\begin{eqnarray*} \pi : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R : \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow x \end{eqnarray*}$
ist mir die Surjektivität absolut einleuchtend. Der Bildraum ist der komplette R, da ich mir jedes x aussuchen kann und x die Abbildung ist, kann jeder Wert des R auch über die lin. Abbildung erreicht werden.
Aber bei Polynomräumen kann ich mir das einfach nicht vorstellen! Gibt es einen Weg die Surjektivität rechnerisch zu bestimmen?

Grüße

30.05.2013, 19:26

sbh

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RE: Bestimmung des Kerns eines Polynomraums(Lineare Abbildung)
na ... wenn das Bild Dimension 3 hat .. aber $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ die Dimension 4, kann dann $\begin{eqnarray*} Bild(L) = \mathbb R^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ (was ja gleichbedeutend mit Surjektivität ist)?

Ich weis leider nicht welche Sätze ihr in der Vorlesung behandelt habt (also Vorsicht, Spoilergefahr)
aber der hier sollte dir beim Verständnis von endl. dim. Vektorräumen über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ helfen:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei V ein }\mathbb R \text{-Vektorraum der Dimension n und }(v_1 \ldots v_n) \text{ eine Basis von V} \\ \Phi: V \rightarrow \mathbb R^n : x=\sum_{i=1}^n a_i*v_i \mapsto \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots\\ a_n \end{pmatrix} \text{ ist ein Isomorphismus} \end{eqnarray*}$
und darum kannst du dir jeden n-Dimensionalen Vektorraum erstmal als $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ denken

30.05.2013, 19:33

sbh

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RE: Bestimmung des Kerns eines Polynomraums(Lineare Abbildung)
Nachtrag zu deiner Frage, ob man es rechnerisch ermitteln kann:

da fällt mir nur der Ansatz über die Definition von Surjektiv ein:

Sei $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} w & x \\ y & z \end{pmatrix} \in \mathbb R^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ .
Zeige, dass es ein Polynom f von Grad 4 gibt so dass L(f)=A.

Ist wieder ein Gleichungssystem und sollte lösbar sein

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