Krulldimension des Polynomrings C[x,y]

29.05.2013, 19:48	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Krulldimension des Polynomrings C[x,y] Hallo, ich möchte gerne zeigen, dass $\begin{eqnarray} \dim \mathbb{C}[x,y] = 2 \end{eqnarray}$ ist bzw. könnte man allgemeiner bestimmt auf die gleiche Art und Weise zeigen, dass für einen Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} \dim K[x_1, ..., x_n] = n \end{eqnarray}$ . Dass diese Dimension mindestens $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist, ist klar, da ich durch die Kette von Idealen $\begin{eqnarray} (0) \subsetneq (x_1) \subsetneq (x_1, x_2) \subsetneq ... \subsetneq (x_1, ..., x_n) \end{eqnarray}$ eine Primidealkette der Länge $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gefunden habe. Nur wie zeige ich, dass diese Dimension höchstens $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist? Hat da jemand eine Idee? Danke im Voraus!
29.05.2013, 23:07	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es gibt einen relativ kurzen, relativ elementaren Beweis: http://hlombardi.free.fr/publis/KrullMathMonth.pdf Standardmäßig zeigt man die Aussage als Folgerung aus: Ist A noethersch, so ist dim(A[X])=dim(A)+1. Dafür braucht man etwas mehr kommutative Algebra, keine Ahnung was du zur Verfügung hast. insbesondere so was wie: Die Höhe eines Ideals im noetherschen Ring ist kleiner-gleich der Anzahl der Erzeuger des Ideals (Krull height theorem)
29.05.2013, 23:41	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für deine Antwort, ich schau mir das ganze mal an. Kommutative Algebra hab ich relativ viel zur Verfügung. Das Problem sollte also nicht sein, dass ich die Aussagen nicht verwenden darf.

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