Zeigen Untergruppe U \neq G

29.05.2013, 20:10	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen Untergruppe U \neq G Hallo, Sei U eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G und $\begin{eqnarray} U \neq G \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} \cup gUg^{-1} \neq G \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall g \in G<br /> \end{eqnarray}$ Ich habe leider keine Idee, auch nach mehrmaliger Suche im Internet, wie zeige ich das? LG
30.05.2013, 08:34	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen Untergruppe U \neq G hallo, also zunächst ist beim editieren was schielf gelaufen, du meinst wahrscheinlich $\begin{eqnarray} \bigcup_{g \in G} gUg^{-1} \neq G \end{eqnarray}$ . Es ist also zu zeigen, dass man mit $\begin{eqnarray} gUg^{-1} \end{eqnarray}$ nicht alle elemente aus G erzeugen kann. Kann man das evt. mit der ordnung der gruppenelemente begründen, weil wenn man ein element aus U mit einer bestimmten ordnung, die ja kleiner als die ordnung von G sein muss, von links und rechts mit einem element gleicher ordnung verknüpft, müsste das ergebnis höchstens die ordnung von U haben, es gibt in G jedoch elemente, die eine höhere ordnung als ord(U) haben müssen, oder sehe ich das falsch?
30.05.2013, 09:25	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen Untergruppe U \neq G Vielen Dank für deine Antwort. Deine Notation ist natürlich korrekt, ich hatte das nicht hinbekommen, daher danke für die Richtigstellung. Meintest du das im Bezug auf die Rechts- und Linksnebenklassen? LG
30.05.2013, 09:54	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen Untergruppe U \neq G @ollie: Es stimmt zwar, dass die Elemente dieser Vereinigung immer eine Ordnung haben müssen, die auch als Elementordnung in U auftritt, aber das ergibt noch keinen Widerspruch. Beispiel: $\begin{eqnarray} G=D_8=\langle (1234),(13)\rangle \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U=\langle (1234)\rangle \end{eqnarray}$ . Hier tauchen sowohl in G als auch in U genau die Elementordnungen 1, 2 und 4 auf. Zur Lösung: Man sollte sich überlegen, dass es ausreicht, nicht über alle $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ , sondern nur über alle $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ aus einem Linksnebenklassenvertretersystem von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ zu vereinigen. Anschließend vergleicht man die Ordnungen. Gruß Reksilat
30.05.2013, 10:30	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Genauer gesagt ist die Anzahl der verschiedenen Mengen, über die man links vereinigt, gerade der Index des Normalisators von U, welcher natürlich höchstens so groß ist, wie der Index von U selbst.
30.05.2013, 14:04	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Ihr beiden für Eure Antworten, Ich werde mich jetzt mal genauer damit auseinandersetzen. LG
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