Ansatz für Differenzialgleichung

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Elli665 Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz für Differenzialgleichung
Habe da eine Differentialgleichung vor mir liegen und weiß nicht wie ich ansetzen soll



Ein Ansatz wäre x = t*cos(t) - sin(t) * ln(sin(t))

Aber wie kommt WOlfram Alpha da drauf? Und was mache ich dann bei der Prüfung wenn so ein Beispiel kommt?

Wie soll man denn da ansetzen?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich kann man hier ganz nach Lehrbuch vorgehen Augenzwinkern .

Subtrahiere erst um -1 und dividiere durch sin(t). Dann normal die homogene Lösung finden und daraufhin die partikuläre.



Der von dir genannte "Ansatz" ist nur die Lösung für den partikulären Teil.
Elli5565 Auf diesen Beitrag antworten »

Also so?



und dann für die Variation der Konstanten:


und einfach reinbeißen?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Nun die Variation der Konstanten verwendet man eigentlich nicht, wenn das inhomogene Glied 0 ist.
Ich würde eher mit dem allgemeinen Ansatz beginnen. Man kommt dann direkt auf das von dir genannte.




Für die partikuläre Lösung setze nun mit Variation der Konstanten und der Wronski-Matrix an.
Meryl Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, eine kleine Bemerkung zum Googeln:

nach den Umformungen, die Equester genannt hat, hast du eine inhomogene lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten., also schau mal unter dem Stichwort nach.

Bzw. erst bei homogene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die allgemeine Lösung und dann bei partikuläre Lösung einer linearen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.



Vielleicht hilft das bei der Info-Suche,

Meryl
Elli435 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich ansetze mit e^lt dann erhalte ich aber

x = C_1e^{jt}+C_2e^{-jt}=C_1(cost + jsint)+C_2(cost-jsint)

und nicht sin(t) + cos(t)

Bitte verzeiht, aber ich bin noch nicht sehr gut im Wechseln von Zeit und Komplexbereich
 
 
Meryl Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

Du musst die die charakteristische Gleichung



lösen, dann hast du als Lösung ein komplex konjugiertes Paar und die allgemeine Lösung ergibt sich als

, wobei

der Realteil sei und der Imaginärteil und


Für die partikuläre Lsg. würde ich dann Variation der Konstanten vorschlagen.
Elli343 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke für deine Hilfe, ich habe aber noch eine Frage, weil ich glaube ich habe immer noch das FUndamentalsystem noch nicht verstanden.

Also wenn ich habe eine Lösung y = y1 und eine andere Lösung y = y2, und beide sind ungleich, so kann ich bereits die allgemeine Lösung der Differentialgleichung anschreiben?

Also so y = y1 + y2 ?

Also angenommen meine Differentialgleichung schaut so aus:
y'' + k(t)*y' + f(t) * y = 6t

und ich habe meine Lösungen bereits gefunden y1 und y2 durch zufall entdeckt und beide sind ungleich, dann kann ich einfach schreiben,
y = C1*y1 + C1*y2 ??

Weil genau das verstehe ich jetzt auch bei diesem Beispiel nicht ganz. Ich bekomme ja für mein k = -j und k = +j heraus, dann lautet aber meine Lösung der der homogenen Gleichung entweder das oder das, weil beides die Gleichung erfüllen, sprich ich kann doch für die Vriabtion der Konstanten auch das ansetzen:



weil e^jt meine homogene Gleichung bereits befriedigt.
Mich wundert es aber irgendwie auch, dass ich sin(t) einsetzen kann und es stimmt genauso, aber e^jt ist ja cos(t) + jsin(t) und nicht sin(t).

Das verwirrt mich einwenig.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich dich richtig verstehe passt das so.
Wenn du das Fundemantalsystem zu {y1, y2} bestimmt hast, kannst du die Lösung als y=c1y1+c2y2 aufschreiben.


Wenn dein charakterisitsches Polynom aber die Nullstelle hat, so sind die Funktion und linear unabhängige Lösungen der Dgl.

Dass dem so ist, würde ich so hinnehmen. Kann man aber natürlich zeigen, wenn du es sehen willst Augenzwinkern .
Elli343 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Ich verstehe das hier nicht so ganz.
Ich erhalte nämlich für die homogene Lösung:

Elli 443 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz







liefert mir eine weitere nicht homogene DG 1.Ordnung



die dann genau so mühsam zu lösen ist wie die erste.

Das funktioniert irgendwie nicht??
Meryl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elli343
Zitat:


Ich verstehe das hier nicht so ganz.
Ich erhalte nämlich für die homogene Lösung:



Dann hast du anscheinend das char. Polynom falsch bestimmt.

Sieht so aus, als hättest Du zwei verschiedene reelle Lösungen raus, es sind aber zwei komplexe Lösungen, nämlich .
Elli443 Auf diesen Beitrag antworten »

Das charakteristische Polynom entsteht ja durch den ANsatz x = e^zt:





Dadurch ergibt sich das z zu:



Eingesetzt also:


oder dies erfüllt die homogene Gleichung auch:


oder das hier auch:


Und dann komme ich auf diese ungeheuren Integrale, die ich mit der Hand nicht mehr lösen kann. Was mache ich falsch?

________________________________________
Erweiterte Frage: Der sinus ist ja so definiert:



Und die Eulerformel ist so:



Mir stellen sich da jetzt aber einpaar Fragen. Ich hatte schon beispiele lösen müssen wo die homogene Lösung einmal e^-jt ist und die zweite homogene Lösung e^+jt war.

Komischerweise war dann aber die Lösung tatsächlich nicht etwa:


sondern so:
Elli443 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie löst man denn so ein Integral?

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