Bitte um Überprüfung meiner Bogenlänge

30.05.2013, 00:11

Patrick1990

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Bitte um Überprüfung meiner Bogenlänge

Hallo,
wir sollen die folgende Bogenlänge berechnen:

Gegeben ist die Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ mit der Parameterdarstellung

$\begin{eqnarray*} \gamma(t)=e^{-2t}\begin{pmatrix}\sin(t)\\\cos(t)\end{pmatrix},t \in \left[0,\pi\right] \end{eqnarray*}$

Es soll nun im vorgegebenen Intervall die Bogenlänge $\begin{eqnarray*} L(\Gamma) \end{eqnarray*}$ des Bogens $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

Nun habe ich folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} L(\Gamma)=\int\limits_0^\pi\sqrt{(\dot x)^2+(\dot y)^2}\mathrm dt=\dots=\sqrt5 (e^{-2\pi}-1) \end{eqnarray*}$

Kann mir das jemand bestätigen?

30.05.2013, 05:37

Che Netzer

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RE: Bitte um Überprüfung meiner Bogenlänge
Ui, eine negative Bogenlänge...

30.05.2013, 08:19

Patrick1990

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Oh

verwirrt

Dann nun die Fehlersuche.

Zuerst habe ich:

$\begin{eqnarray*} L(\Gamma)=\int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{e^{-4t}(-sint+cost)^2)+e^{-4t}(-2cost-sint)^2}\mathrm dt \end{eqnarray*}$

Nach einigen Umformungen komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} L(\Gamma)=\int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{e^{-4t}5}\mathrm dt \end{eqnarray*}$

Dann habe ich noch die $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ herausgezogen und komme nach dem Integrieren auf....ach gerade sehe ich meinen Fehler habe nur $\begin{eqnarray*} e^{-4t} \end{eqnarray*}$ aus der Wurzel gezogen und direkt die Grenzen eingesetzt, also vergessen zu Integrieren.

Trotzdem ist es noch negativ traurig

traurig

Komme nach der Integration auf

$\begin{eqnarray*} L(\Gamma)=\left.\sqrt{5}(-\frac 12 e^{-2t})\right|_0^\pi \end{eqnarray*}$

Das aufgelöst ergibt

$\begin{eqnarray*} L(\Gamma)=-\frac{\sqrt{5}}{2}(e^{-2\pi}+\frac 12) \end{eqnarray*}$

30.05.2013, 08:25

Che Netzer

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Die letzte Gleichung ist falsch; da hat sich wohl ein Vorzeichenfehler eingeschlichen.

Übrigens hätte ich die Länge etwas anders berechnet.
Wenn man die Produktregel zum Ableiten benutzt, sieht man, dass die zwei Summanden von $\begin{eqnarray*} \dot\gamma \end{eqnarray*}$ orthogonal zueinander sind und man kann mit Pythagoras
$\begin{eqnarray*} \lvert\dot\gamma\rvert^2=\mathrm e^{-4t}\bigl(\lvert-2\rvert^2+\lvert1\rvert^2\bigr) \end{eqnarray*}$
einsehen.

30.05.2013, 08:43

Patrick1990

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Hallo Che,
ich hatte mehrere Fehler fiel mir grad auf unglücklich

unglücklich

habe ja einfach nur das $\begin{eqnarray*} -\frac 12 \end{eqnarray*}$ herausgezogen und eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt5}{2}\left[e^{-2\pi}-1\right] \end{eqnarray*}$

Jetzt wirds positiv, kann ich das noch besser hinschreiben?

Das andere mit der Orthogonalität habe ich nicht verstanden, scheinbar erleichtert es meine Rechnung enorm?

30.05.2013, 10:51

Patrick1990

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Wäre cool, wenn du mir das etwas erklären könntest.
Wir sollen das Bogenelement auch noch zeichnen, habe jedoch keine Ahnung wie man da vorgeht.
Womit fange ich an?

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30.05.2013, 11:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Patrick1990
Wir sollen das Bogenelement auch noch zeichnen, habe jedoch keine Ahnung wie man da vorgeht

Sieht etwa so aus:

http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmische_Spirale

Bei dir allerdings nur ein "Halbkreis-Bogen", um es mal salopp auszudrücken.

30.05.2013, 18:27

Che Netzer

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Zitat:

Original von Patrick1990
Jetzt wirds positiv, kann ich das noch besser hinschreiben?

Du kannst das Vorzeichen in die Klammer ziehen...

Zitat:

Das andere mit der Orthogonalität habe ich nicht verstanden, scheinbar erleichtert es meine Rechnung enorm?

Ja, tut es (es sei denn, diese Art von Argumentation ist einem gänzlich neu; dann dauert es vielleicht ein wenig, sie zu verstehen).
Wir setzen
$\begin{eqnarray*} v(t)=\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}\,. \end{eqnarray*}$
Damit ist $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=\mathrm e^{-2t}v(t) \end{eqnarray*}$ .
Nun sieht man, dass $\begin{eqnarray*} \lvert v\rvert\equiv1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lvert\dot v\rvert\equiv 1 \end{eqnarray*}$ (außerdem folgt $\begin{eqnarray*} v\perp\dot v \end{eqnarray*}$ ).
Jedenfalls ist $\begin{eqnarray*} \dot\gamma(t)=\mathrm e^{-2t}\bigl(-2v(t)+\dot v(t)\bigr) \end{eqnarray*}$ .
Damit ist
$\begin{eqnarray*} \lvert\dot\gamma\rvert^2=\left(\mathrm e^{-2t}\right)^2\Bigl(\lvert-2v(t)\rvert^2-2\langle v(t),\dot v(t)\rangle+\lvert\dot v(t)\rvert^2\Bigr)=\mathrm e^{-4t}(2^2-2\cdot0+1^2)=5\mathrm e^{-4t}\,. \end{eqnarray*}$

Wenn man diese Idee erstmal kennt, sieht man das alles auch viel schneller.

30.05.2013, 21:05

Patrick1990

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Danke Che.
Ja das ist gänzlich neu, werde es mir mal genau anschauen.

Kann ich diese Kurve irgendwo plotten lassen?

Problem ist folgendes:
Wir sollen diesen Kreisbogen skizzieren in der Klausur. Ich weiß grob wie $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ aussieht und auch das Cosinus und Sinus einen Kreis ergeben.

Hieße dies nun, dass es eine Spirale ist, die immer kleiner werdend sich in sich zusammendreht? Welche Richtung wird durchlaufen und wie zeichne ich in dem vorgegebenen Intervall?

30.05.2013, 21:10

Che Netzer

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Hals Beitrag hast du aber gesehen, oder?
In welche Richtung die Kurve durchlaufen wird, könntest du dir auch selbst überlegen.

Und plotten kannst du die Kurve sogar hier im Forum; mit dem parametricplot-Befehl Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten kann ich GeoGebra empfehlen.

Versuch aber besser erst, dir selbst zu überlegen, wie deine Kurve aussehen müsste.

30.05.2013, 21:12

Patrick1990

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Ja, daher weiß ich auch, dass es eine Spirale ist. Ich denke die Spirale läuft im Uhrzeigersinn. Mehr weiß ich jedoch leider nicht. unglücklich

unglücklich

30.05.2013, 21:15

Che Netzer

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Da stelle ich gerade fest, dass ich oben von einer falschen Parametrisierung ausgegangen bin, d.h. ich habe Sinus und Cosinus vertauscht (ändert an der Argumentation rein gar nichts).
Mit so vertauschten Koordinaten würde sich die Kurve tatsächlich gegen den Uhrzeigersinn bewegen.

30.05.2013, 21:34

Patrick1990

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Wie erkenne ich die Richtung? Und wie zeichne ich das in diesem vorgegebenen Intervall?

30.05.2013, 21:44

Che Netzer

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Setz doch ein paar Werte ein.
Oder betrachte $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ und überlege dir, wie sich die Kurve bzw. die Komponenten für steigendes $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ verhalten (den exponentiellen Vorfaktor kannst du erst einmal ignorieren).

30.05.2013, 22:13

Patrick1990

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Ich werd nicht schlau daraus, habe mit jetzt die e Funktion weggedacht und einfach pi,pi/2 usw. eingesetzt und komme ja immer auf Vektoren in verschiedene Richtungen.

30.05.2013, 22:19

Che Netzer

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Und hast du dir mal angesehen, was passiert, wenn du $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ von Null aus loslaufen lässt? In welche Richtung bewegt sich die Kurve (die nunmehr ein Kreis ist) von wo aus?

30.05.2013, 22:43

Patrick1990

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Wenn ich $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ einsetze ergibt dies ja einen Vektor von 0 bis 1 und auch für die anderen Werte zum Beispiel $\begin{eqnarray*} t=\pi \end{eqnarray*}$ einen Vektor von -1 bis 0. Also wenn ich weiß, dass es einen Kreis gibt geht dieser gegen den Uhrzeigersinn oder?

30.05.2013, 22:45

Che Netzer

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Was bitte ist ein Vektor "von 0 bis 1"? verwirrt

verwirrt

30.05.2013, 23:02

Patrick1990

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Ich muss mich für meine Ausdrucksweise entschuldigen.

Ich meine damit folgendes:

Für
$\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$

komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \gamma(0)=e^{-2t}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Für
$\begin{eqnarray*} t=\pi \end{eqnarray*}$

komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \gamma(\pi)=e^{-2t}\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

30.05.2013, 23:02

Che Netzer

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Das sagt dir aber noch gar nichts.
Interessanter wäre noch $\begin{eqnarray*} t=\frac\pi2 \end{eqnarray*}$ .

30.05.2013, 23:06

Patrick1990

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Für
$\begin{eqnarray*} t=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \gamma(\frac{\pi}{2})=e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für
$\begin{eqnarray*} t=\frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$

komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \gamma(\frac{3\pi}{2})=e^{-2t}\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

30.05.2013, 23:07

Che Netzer

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Das $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-2t} \end{eqnarray*}$ kannst du wie gesagt erst einmal ignorieren, wenn es nur um die Orientierung der Kurve geht.

Naja, was schließt du nun aus den errechneten Werten?

30.05.2013, 23:11

Patrick1990

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Ich schließe daraus, dass die Kurve im Uhrzeigersinn verläuft. Ich hoffe das ist richtig smile

smile

30.05.2013, 23:11

Che Netzer

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Ist es.

30.05.2013, 23:15

Patrick1990

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Nun muss ich ja noch die Überlegung tätigen, wie die Spirale verläuft. Sie startet also bei

$\begin{eqnarray*} \gamma(0)=\underbrace{e^{0}}_{=1}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist meine Überlegung dann richtig, dass die Spirale immer kleiner wird?

30.05.2013, 23:17

Che Netzer

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Ja, für steigendes $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ fällt $\begin{eqnarray*} \lvert\gamma(t)\rvert \end{eqnarray*}$ exponentiell ab.

30.05.2013, 23:19

Patrick1990

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Vielen, vielen Dank.

31.05.2013, 19:20

HAL 9000

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Da wir hier im Board auch einen Kurven-Plotter haben, zur Abrundung

Die Spiralform ist also wegen des starken exponentiellen Abfalls optisch nur noch schwer erkennbar.

31.05.2013, 19:35

Patrick1990

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Kann ich vorher erkennen, dass die Kurve die y-Achse bei 1 schneidet?
Gilt dies wegen $\begin{eqnarray*} e^0=1 \end{eqnarray*}$ ?

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