Beweis zum Integralkriterium

30.05.2013, 15:39	gbk97	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zum Integralkriterium Hallo, bei mir ist eine Frage beim Beweis zum Integralkriterium aufgetreten. Also: Sei $\begin{eqnarray} f:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty) \end{eqnarray}$ monoton fallend und $\begin{eqnarray} f \ge 0 \end{eqnarray}$ dann gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty f(n) < \infty \iff \int_0^\infty f(t) dt < \infty \end{eqnarray}$ also sei f monoton fallend auf $\begin{eqnarray} [0,c] \forall c \in \mathbb{R_+} \Rightarrow f \in R [0,c] \forall c \in \mathbb{R_+}<br /> \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} f(n) \ge f(t) \forall \quad t \in [n, n+1] \end{eqnarray}$ , da f monoton fallend $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(n)= f(n) \cdot 1 \ge \int_n^{n+1} f(t) dt \ge f(nn+1) \cdot 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ bel. $\begin{eqnarray} *\Rightarrow \sum_{n=0}^N f(n) \ge \int_0^{N+1} f(t)dt \ge \sum_{n=0}^N f(n+1) \end{eqnarray}$ Ich verstehe den Beweis bis zum **. Dann frage ich mich allerdings, was das mit den Summen soll, da ja die Summen die einzelnen Funktionswerte bis zum N aufsummieren, was auch immer N sein mag(N wurde nicht definiert). Und warum das aus dem Schritt davor folgen soll, ist mir auch noch schleierhaft. Außerdem verstehe ich auch nicht so ganz, warum wir gezeigt haben, dass das Integralkriterium jetzt gilt, wenn gelten sollte, dass: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^N f(n) \ge \int_0^{N+1} f(t)dt \ge \sum_{n=0}^N f(n+1) \end{eqnarray*}$ gilt. Kann mir da Jemand vielleicht auf die Spürnge helfen. Gruß gbk
30.05.2013, 16:00	gbk97	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: da ich denke, dass meine Fragen nicht konkret genug sind, hier der Versuch genauer zu formulieren, was ich nicht verstehe. bei *** betrachtet man ja die Partialsummen. Die Partialsumme: (B) $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^N f(n) \end{eqnarray}$ entspricht ja wieder dem Integral: $\begin{eqnarray} (A) \int_0^N f(t) \end{eqnarray}$ mit einem konstanten Wert für $\begin{eqnarray} t \in [n, n+1] mit \quad n\in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ , nämlich t= f(n).(HIer nin ich mir auch nicht ganz sicher)(C). D.h. ich versteh schon, warum die Summe größer ist, allerdings verstehe ich nicht, warum das dann was über die Konvergenz den Integrals aussagt. Denn selbst, wenn dann das Integral (A) eine Majorante zu dem Intergral $\begin{eqnarray} \int_0^{N+1} f(t)dt \end{eqnarray}$ ist, dann weiß ich ja noch nichts über die Konvergenz der Summe(B) bzw. des Integrals (A). Aaah, das war ja jeweils die Voraussetzung! D.h. meine Frage müsste sich eigentlich erledigt haben, wenn die Aussage (C) stimmt. Umsonst ein Thema eröffnet, sorry! Ich hoffe, dass das jetzt genauer war. Gruß gbk

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