logarithmisch konvexe Funktion

30.05.2013, 15:47

Skyrider21

logarithmisch konvexe Funktion

Meine Frage:
Hey ich hab da ein kleines Verständnisproblem mit logarithmisch konvexen Funktionen.
(Hab schon im Forum geschaut, hab da aber nur ine andere Definition gefunden)
Also logarithmisch konvex heißt ja, wenn ich das alles richtig verstanden habe, dass eine Fkt dann log. konvex ist, wenn $\begin{eqnarray*} ln \circ f \end{eqnarray*}$ konvex ist. Eine Komposition ist dann konvex, wenn g (hier ln) und f konvex und zusätzlich g noch streng monoton wachsend ist(So jedenfalls wie ichs verstanden habe. Aber ln ist doch nicht konvex, sondern konkav? Im internet wurde es dann mit der exp-Funktion erklärt, aber es geht ja hier um die konkave ln, nicht um die konvexe exp Funktion oder?

Meine Ideen:
Vielen Dank schon mal für jegliche Hilfe smile

30.05.2013, 18:36

Leopold

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Wenn wir $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als positiv und zweimal differenzierbar voraussetzen, dann könnte man die logarithmische Konvexität so ausdrücken: $\begin{eqnarray*} (\ln \circ f)'' > 0 \end{eqnarray*}$ , was zu

$\begin{eqnarray*} f'' \cdot f > {f'}^2 \end{eqnarray*}$

äquivalent ist. Als Beispiel habe ich mir einmal die allgemeine Potenz

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{\alpha} , \ x>0 \end{eqnarray*}$

vorgenommen. Der Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ soll beliebig reell sein. Die obige Bedingung läuft dann auf

$\begin{eqnarray*} \alpha (\alpha-1) x^{2 \alpha - 2} > \alpha^2 x^{2 \alpha - 2} \end{eqnarray*}$

hinaus, was $\begin{eqnarray*} \alpha<0 \end{eqnarray*}$ impliziert. Damit sind unter den Potenzfunktionen genau die mit negativem Exponenten in $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ logarithmisch konvex.

31.05.2013, 11:40

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Leopold
Wenn wir $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als positiv und zweimal differenzierbar voraussetzen, dann könnte man die logarithmische Konvexität so ausdrücken: $\begin{eqnarray*} (\ln \circ f)'' > 0 \end{eqnarray*}$ , was zu

$\begin{eqnarray*} f'' \cdot f > {f'}^2 \end{eqnarray*}$

äquivalent ist.

Damit wäre aber strenge Konvexität gemeint. Logarithmisch konvex wäre sie dann, wenn auch das Gleichheitszeichen zulässig wäre:

$\begin{eqnarray*} (\ln \circ f)'' \ge 0 \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} f> 0 \land f'' \cdot f \ge {f'}^2 \end{eqnarray*}$

03.06.2013, 15:28

Skyrider21

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endlich geht mein Internet wieder, hatte die letzten Tage ein paar Probleme damit -.-
hoffe, dass ihr mir trotzdem immernoch helfen könnt smile

Also vielen Dank schonmal für die Ungleichung.
Das heißt wenn ich rausbekommen will, ob eine Funktion logarithmisch konvex ist, setze ich f in die Ungleichung ein und schau ob bzw für welche Variablen diese stimmt...
Nur wie kommst du darauf, dass das dazu äquivalent ist?
ich hab
$\begin{eqnarray*} <br /> \left(ln\left(f\right)\right)'' \geq 0 = <br /> \left(\frac{1}{f}\cdot f' \right)' \geq 0 \end{eqnarray*}$
und wenn ich jetzt noch einmal ableite kommt was ganz anderes raus....

und was ich noch fragen wollte, kann man meine Definition von logarithmisch konvex nicht verwenden? (ich muss zB auch eine aufgabe lösen, bei der gezeigt werden soll, dass alle logarithmisch konvexen Fkten auch konvex sind)

03.06.2013, 16:32

RavenOnJ

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Quotientenregel:

$\begin{eqnarray*} f> 0: \left(\ln\circ f\right)'' \geq 0 \Leftrightarrow \left(\frac{f'}{f} \right)' \geq 0 \Rightarrow \frac{f'' f-f'^2}{f^2}\ge 0\Rightarrow f'' f \ge f'^2 \end{eqnarray*}$

03.06.2013, 17:08

RavenOnJ

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RE: logarithmisch konvexe Funktion

Zitat:

Original von Skyrider21
Eine Komposition ist dann konvex, wenn g (hier ln) und f konvex und zusätzlich g noch streng monoton wachsend ist(So jedenfalls wie ichs verstanden habe. Aber ln ist doch nicht konvex, sondern konkav? Im internet wurde es dann mit der exp-Funktion erklärt, aber es geht ja hier um die konkave ln, nicht um die konvexe exp Funktion oder?

Konvexität und Monotonie von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , sowie Konvexität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sind nur hinreichende Gründe, damit die Komposition $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ konvex ist. Sie sind nicht notwendig. Deswegen kann $\begin{eqnarray*} \ln\circ f \end{eqnarray*}$ durchaus konvex sein, obwohl $\begin{eqnarray*} \ln(x) \end{eqnarray*}$ nicht konvex ist. Ein Beispiel wäre $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(x) := (\ln\circ\exp)(x) = x \end{eqnarray*}$ . Der Logarithmus ist konkav, trotzdem ist $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(x) = x \end{eqnarray*}$ konvex.

Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvex, dann ist $\begin{eqnarray*} \exp\circ f \end{eqnarray*}$ konvex, da die Exponentialfunktion konvex und monoton steigend ist. Ist also eine Funktion logarithmisch konvex, d.h. $\begin{eqnarray*} \ln\circ f \end{eqnarray*}$ konvex, dann ist auch $\begin{eqnarray*} \exp\circ (\ln\circ f) = f \end{eqnarray*}$ konvex.

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