Jordan Normal Form - es hakt kurz vor Schluss

30.05.2013, 17:14

Homer42

Jordan Normal Form - es hakt kurz vor Schluss

Hallo allerseits! smile

ich habe ein Problem beim Bestimmen einer Jordan Normalform bzw. beim Bestimmen der Wechselbasis.

Folgende Matrix ist mir gegeben:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 4 &-3 & -1\\ 1& 1 & -1 & 1 & 0\\ -1& 0 & 2 & 0 & 0\\ 4& 1 & -4 & 5 & 1\\ -2& 0 & 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Problem kommt erst relativ spät, dennoch möchte ich hier mal darstellen, wie ich vorgegangen bin, meine eigentliche Frage kommt also erst unten smile

1. char. Polynom: $\begin{eqnarray*} p(x) = (2-x)(1-x)^4 \end{eqnarray*}$
2. Minimalpolynom: $\begin{eqnarray*} \mu (x) = (2-x)(1-x)^3 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich ja schon die zwangsläufige Form meiner Jordannormalform:

$\begin{eqnarray*} J = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 &0 & 0\\ 0& 1 & 1 & 0 & 0\\ 0& 0 & 1 & 1 & 0\\ 0& 0 & 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit? smile

Also mache ich mich auf die Suche nach meiner Basis, und berechne dafür die Unterräume: Es ergibt sich bei mir für den Eigenwert 1:

$\begin{eqnarray*} U_1 = ker (A-E) = span (\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_2 = ker (A-E)^2 = span (\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_3 = ker (A-E)^3 = span (\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_4 \end{eqnarray*}$ ist logischerweise mein kompletter Vektorraum, weshalb ich meinen $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ einfach durch einen Vektor zu einer Basis des Vektorraumes erweitere. Hierzu wähle ich e3:

$\begin{eqnarray*} U_4 = ker (A-E)^4 = span (\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Soviel zum Eigenwert 1. Zum Eigenwert 2 ergibt sich lediglich:

$\begin{eqnarray*} U_1 = ker (A-2E) = span (\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2\\ 3\\ -2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Nun beginne ich mit meiner Zerlegung, zunächst für den Eigenwert 1:

$\begin{eqnarray*} U_4 = U_3 + W_4 --> dim(W_4)=1 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} W_4 = span(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Bildbildung: $\begin{eqnarray*} (A-E)*W_4 = \begin{pmatrix} 4\\ -1\\ 1\\ -4\\ 2 \end{pmatrix}\subseteq W_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_3 = U_2 + W_3 --> dim(W_3)=1 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} W_3 = span(\begin{pmatrix} 4\\ -1\\ 1\\ -4\\ 2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Bildbildung: $\begin{eqnarray*} (A-E)*W_3 = \begin{pmatrix} -1\\ -1\\ -3\\ -3\\ 2 \end{pmatrix}\subseteq W_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_2 = U_1 + W_2 --> dim(W_2)=1 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} W_2 = span(\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ -3\\ -3\\ 2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Bildbildung: $\begin{eqnarray*} (A-E)*W_2 = \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ -2\\ -3\\ 2 \end{pmatrix}\subseteq W_1 \end{eqnarray*}$

Alles, was ich darüber nun aussagen kann, dass das eben berechnete Bild enthalten ist, dass also gilt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ -2\\ -3\\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist in dem U_1 drin. Den anderen Vektor kenne ich aber nicht oder?

So, jetzt kommt mein erster Stolperstein. Es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} U_1 = U_0 + W_2 --> dim(W_1)=2!!! \end{eqnarray*}$

MEin Ziel ist ja die Bildung einer Basis. Ich weiß jetzt bereits 4 Spaltenvektoren von $\begin{eqnarray*} B^-1 \end{eqnarray*}$ , so dass ich bereits sagen kann:

$\begin{eqnarray*} B^-1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 4 &0 & *\\ -1& -1 & -1 & 0 & *\\ -2& -3 & 1 & 1 & *\\ -3& -3 & -4 & 0 & *\\ 2& 2 & 2 & 0 & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So... Wo bekomme ich den letzten Vektor her? Mein Eigenwert 2 bzw. der Unterraum des Eigenwertes 2 bringt mir keinen neuen linear unabhängigen Vektor. Was also tun?

Ich probierte Ergänzung:
Der Vektor e2 ergänzt meine Matrix zu einer vollständigen Basis meines Raumes, damit ergebe sich dann:

$\begin{eqnarray*} B^-1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 4 &0 & 0\\ -1& -1 & -1 & 0 & 1\\ -2& -3 & 1 & 1 & 0\\ -3& -3 & -4 & 0 & 0\\ 2& 2 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &5 & 8\\ -1& 0 & 0 & -4 & -6\\ 0& 0 & 0 & -1 & -1,5\\ -1& 0 & 1 & -1 & -0,5\\ 0& 1 & 0 & 0 & 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber leider ergibt sich durch $\begin{eqnarray*} B * A * B^-1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 4\\ 0& 1 & 1 & 0 & -3\\ 0& 0 & 1 & 1 & -1\\ 0& 0 & 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Tja, da haben wir den Salat :o)

Wo liegt da mein Fehler? Ist es die Wahl meines Erweiterungsvektors e2? Oder ist es überhaupt die Idee, den Vektor einfach zu wählen? Oder ist es dir Reihenfolge der Vektoren?

Ich bin unendlich dankbar für jeden Tipp Gott

31.05.2013, 10:01

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Jordan Normal Form - es hakt kurz vor Schluss
Hallo Homer,

Hier liegt Dein Fehler:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} U_4 \end{eqnarray*}$ ist logischerweise mein kompletter Vektorraum, weshalb ich meinen $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ einfach durch einen Vektor zu einer Basis des Vektorraumes erweitere.

Es ist $\begin{eqnarray*} {\rm Ker}(A-E)^3={\rm Ker}(A-E)^4 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} U_3=U_4 \end{eqnarray*}$ .
(Die Matrix $\begin{eqnarray*} A-E \end{eqnarray*}$ ist nicht nilpotent)

Gruß
Reksilat

31.05.2013, 12:56

Homer42

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh!
Vielen Dank!! Freude

Ich beginne also mit meinem $\begin{eqnarray*} W_3 \end{eqnarray*}$ ? Da böte sich ja an: $\begin{eqnarray*} W_3 = span (\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

(edit: Tippfehler verbessert, siehe nächster Post)

Daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} W_2 = span (\begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

sowie:

$\begin{eqnarray*} W_1 = span (\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ , wobei W1 noch einen weiteren Vektor enthält.

Insgesamt habe ich dann also drei meiner Spaltenvektoren. Wo bekomme ich nun den Rest her? smile

Habe es mit meinem Unterraum vom Eigenwert 2 probiert und am Ende e2 ergänzt, hat aber nicht geklappt :/

Oder muss ich noch die Bilder $\begin{eqnarray*} (A-E)^2*W_i \end{eqnarray*}$ hinzufügen? :/

Vielen Dank für jede Hilfe!

31.05.2013, 13:04

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Da böte sich ja an: $\begin{eqnarray*} W_3 = span (\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Dann wäre $\begin{eqnarray*} W_3\subseteq U_1 \end{eqnarray*}$ . verwirrt

Ich dachte dass $\begin{eqnarray*} U_3=U_2\oplus W_3 \end{eqnarray*}$ gelten soll? Jedenfalls hast Du oben so gerechnet.

31.05.2013, 13:17

Homer42

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, Tippfehler! Hammer

Habe es oben verbessert, der Rest war aber auch mit dem jetzigen W3 gerechnet.

smile

31.05.2013, 13:33

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} W_1 = span (\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ , wobei W1 noch einen weiteren Vektor enthält.

Dann wäre nun $\begin{eqnarray*} W_3=W_1 \end{eqnarray*}$ verwirrt

Zudem muss ja $\begin{eqnarray*} W_1 \end{eqnarray*}$ 2-dimensional sein.

Du nimmst den Vektor aus $\begin{eqnarray*} W_3 \end{eqnarray*}$ . Dann erhältst Du durch anwenden von $\begin{eqnarray*} A-E \end{eqnarray*}$ zwei weitere Vektoren (aus $\begin{eqnarray*} W_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W_1 \end{eqnarray*}$ ). Das ist soweit richtig.
Diese drei Vektoren gehören zu dem 3x3-Jordanblock.

Jetzt benötigst Du nur noch Vektoren für die 1x1-Blöcke zum Eigenwert 1 bzw. 2.
(Diese sollten natürlich nicht im Spann der bisherigen drei Vektoren liegen)

Gruß
Reksilat

31.05.2013, 16:24

Homer42

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, nochmals 1000 Dank!

Ja, ich Trottel scheine beim Eintippen einfach W1 und W3 vertauscht zu haben. Habe es nun abermals korrigiert, ich meinte also:

$\begin{eqnarray*} W_3 = span (\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_2 = span (\begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

sowie:

$\begin{eqnarray*} W_1 = span (\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ , wobei W1 noch einen weiteren Vektor enthält.

So, jetzt brauche ich also noch zwei weitere Vektoren.
Nach dem, was du sagst, würde ich einfach noch den zweiten Vektor aus $\begin{eqnarray*} W_1 \end{eqnarray*}$ nehmen, welcher ja locker der verbleibende aus $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ sein kann, also:

$\begin{eqnarray*} W_1,2 = span (\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Als letzten Vektor würde ich mir dann meinen Unterraum zum Eigenwert 2 nehmen, also:

$\begin{eqnarray*} W zum Eigenwert 2 =span (\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2\\ 3\\ -2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das ausrechne, komme ich genau auf meine JNF, AUSSER das oben rechts in der Ecke noch eine -8 steht wo eine Null hin muss. Ist das jetzt nur ein Rechenfehler? (bzw. Tippfehler, habe alles mehrfach am Rechner kontrolliert) oder liegt es an der Reihenfolge meiner Vektoren?

Ich sehe mein $\begin{eqnarray*} B^-1 \end{eqnarray*}$ nun folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} B^-1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 &0 & 0\\ 1& 0 & 0 & 1 & 1\\ 0& 1 & 0 & 0 & 2\\ 0& 0 & 1 & 0 & 3\\ -1& 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Reihenfolge nach also:
1+2) die beiden Vektoren aus W1
3) W2
4) W3
5) Unterraum des Eigenwertes 2

Wo hakt es da noch?
Wolfram alpha bestimmt folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 &0 & 0\\ -1& 0 & 0 & 1 & -1\\ 0& 1 & 0 & 0 & -2\\ 0& 0 & 1 & 0 & -3\\ -1& 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da sind also lediglich Vorzeichen anders, allerdings weiß ich nicht wie mir das passieren konnte? Oder würden meine Vektoren prinzipiell auch zum Ziel führen?

Abgesehen davon gibt für die Gleichung $\begin{eqnarray*} J = B * A * B^-1 \end{eqnarray*}$ Wolfram Alpha die gegebene Matrix als B an, wir lernten jedoch dass die gegebene Matrix $\begin{eqnarray*} B^-1 \end{eqnarray*}$ sei....
Oder ist auch das wumpe und es handelt sich wirklich nur noch um eine Kleinigkeit?

Vielen Dank Reksilat für deine bisherige Hilfe, ich checke es langsam aber sicher, muss nur noch die Reihenfolge verstehen, in der ich die Vektoren angebe! Gott

31.05.2013, 16:32

Homer42

Auf diesen Beitrag antworten »

Kommando zurück, es funzt alles smile

Nun bleibt also meine einzige Frage, inwiefern die Reihenfolge festgelegt wird:
Ist die Reihenfolge der beiden Vektoren aus W1 wichtig? Vermutlich ja schon oder? Also steht als erstes der nachträglich hinzugefügte und dann der durch das andere Bild errechnete?

Ich freu mich smile

31.05.2013, 18:49

Homer42

Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag:

Ist folgendes richtig?

Die Vektoren, die ich aus einer Bild-Kette erhalte, bilden (wenn ich dich richtig verstanden habe) den entsprechenden Jordanblock.
Insofern ist die Reihenfolge insofern wichtig, als dass jeweils diese Vektoren nebeneinander stehen. der Rest wird einfach danebengeschrieben, so dass alle zu einem Eigenwert gehörenden Vektoren auch nebeneinanderstehen und alle Blöcke "beieinander" sind.

Meine Güte, diese JNF Form ist bei mir irgendwie ne schwere Geburt. Vielen Dank nochmals für deine Hilfe, war 1000 mal hilfreicher als jede Literatur die ich dazu gefunden habe Freude

31.05.2013, 20:59

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die Vektoren, die ich aus einer Bild-Kette erhalte, bilden (wenn ich dich richtig verstanden habe) den entsprechenden Jordanblock.
Insofern ist die Reihenfolge insofern wichtig, als dass jeweils diese Vektoren nebeneinander stehen. der Rest wird einfach danebengeschrieben, so dass alle zu einem Eigenwert gehörenden Vektoren auch nebeneinanderstehen und alle Blöcke "beieinander" sind.

Stimmt.

Neue Frage »

Antworten »

Jordan Normal Form - es hakt kurz vor Schluss

Verwandte Themen