Integrale bestimen

30.05.2013, 15:32

Mini Janini

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Integrale bestimen

Meine Frage:
Hallo. Muss zwei Integrale berechnen.

$\begin{eqnarray*} 1) \int_0^{\infty } \! e^{-x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2) \int_M \! ye^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)} \, d(x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M:=(x,y)\in \mathbb R | y>0, x<y \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Das erste Integrale habe ich berechnet aber es ist falsch, da wenn ich es ableite nicht das Integral herauskommt. Substitution geht irgendwie auch nicht, weil ich dann dz und dx habe. Beim zweiten haben wir ja zwei Variablen. Aber naja zuerst die 1).

Würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.

Dank und liebe Grüße

Janini

30.05.2013, 15:50

gbk97

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RE: Integrale bestimen
also beim ersten kannst dus mal mit Substitution probieren und dann noch eine partielle Integration hinterher.

Edit: Sorry hab nich verguckt. von $\begin{eqnarray*} e^{x^2} \end{eqnarray*}$ gibts doch keine Stammfuntion, oder?

30.05.2013, 16:05

HAB

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RE: Integrale bestimen
zu 1

Richtig, hier gibt es keine Stammfunktion. Du hast zwei Möglichkeiten
a) selbst numerisch approximieren
b) Mit der Gaußchen- Glockenkurve vergleichen. Da ist die Lösung ja schon vorgegeben.

30.05.2013, 16:10

Mini Janini

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RE: Integrale bestimen

Zitat:

Original von HAB
Richtig, hier gibt es keine Stammfunktion. Du hast zwei Möglichkeiten
a) selbst numerisch approximieren
b) Mit der Gaußchen- Glockenkurve vergleichen. Da ist die Lösung ja schon vorgegeben.

Hm das hätte ich jetzt nicht gedacht, dass es keine Stamfunktion gibt. Wie approximiere ich es denn numerisch? Gaußsche Glockenkurve?

Danke Euch.

30.05.2013, 16:20

Nofeykx

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Hallo Mini Janini,

eigentlich würde ich hier nicht posten, weil ich dir bei deiner Aufgabe nicht weiterhelfen kann, aber bevor du versuchst, das ganze numerisch zu approximieren, was sicherlich nicht so gedacht ist, schreibe ich doch lieber etwas.

Zunächst einmal

Zitat:

Richtig, hier gibt es keine Stammfunktion.

Das ist natürlich falsch. Als stetige Funktion hat auch diese eine Stammfunktion. Es ist nur nicht möglich, diese als geschlossenen Ausdruck darzustellen. Dies ist also nicht der Weg, dieses Integral zu berechnen.

Ich habe mal gelesen, dass man es so macht:

$\begin{eqnarray*} I = \int_0^\infty e^{-x^2}\dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow I^2 = \left ( \int_0^\infty e^{-x^2}\dx \right ) \left ( \int_0^\infty e^{-x^2}\dx \right )= \left ( \int_0^\infty e^{-x^2}\dx \right ) \left ( \int_0^\infty e^{-y^2}\dd y \right ) \end{eqnarray*}$

Das hat dann etwas mit mehrdimensionaler Integration zu tun. Wie das genau geht, weiß ich nicht, ich wollte das hier nur schreiben, damit du nicht den Vorschlägen von HAB folgst.

30.05.2013, 16:45

Kasen75

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Ich habe auch das passende Video zu Nofeykx´s Vorschlag: hier

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30.05.2013, 17:03

Mini Janini

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Also geht's doch verwirrt

verwirrt

, jedenfalls sind die Grenzen anders in dem Video. Danke für das Video. Vielleicht kann man es mit einem Lebesgue-Integral berechnen. Das hatten wir zuletzt in der Vorlesung, Matheprogramme rechnen jedenfalls einen Wert heraus.

30.05.2013, 17:45

Kasen75

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Nur dazu:

Zitat:

Original von Mini Janini
Also geht's doch verwirrt

verwirrt

, jedenfalls sind die Grenzen anders in dem Video. Danke für das Video.

$\begin{eqnarray*} e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ ist ja symmetrisch. Somit musst du das Ergebnis vom Video nur durch 2 teilen.

30.05.2013, 17:57

Mini Janini

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Zitat:

Original von Kasen75
$\begin{eqnarray*} e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ ist ja symmetrisch. Somit musst du das Ergebnis vom Video nur durch 2 teilen.

Ich verstehe jedoch nicht wieso die eindimensionale Funktion, auf einmal zweidimensional wird und dann die Polarkoordinaten verwendet werden.

30.05.2013, 18:17

Kasen75

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In beiden Fällen wird das so gemacht, damit man dann letztendlich das Integral berechnen kann.

Bezüglich des zweidimensionalen Integrals erklärt sie ja, wieso es das Quadrat des eindimensionalen Integrals ist.

Was die Polarkoordinaten betrifft, habe ich die Umformung auch noch nicht ganz verstanden.

Entweder du kommst noch selber drauf, oder jemand anders hier an Board.

30.05.2013, 20:08

Mini Janini

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Ja das mit den Polarkoordinaten wäre lieb, wenn jemand mir das noch erklären könnte. Ich verstehe jedoch immer noch nicht vor allem wieso sich die Intervalle ändern verwirrt

verwirrt

31.05.2013, 07:53

klarsoweit

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Beim Übergang von kartesischen auf polare Koordinaten ist $\begin{eqnarray*} x = r \cdot cos(\phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = r \cdot sin(\phi) \end{eqnarray*}$ . Aus der Integrations-Substitutionsregel für mehrdimensionale Integrale folgt, daß dann $\begin{eqnarray*} dxdy = rdr d\phi \end{eqnarray*}$ ist. Die Integrationsgrenzen für die komplette x-y-Ebene sind dann $\begin{eqnarray*} 0 \leq r < \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \leq \phi \leq 2\pi \end{eqnarray*}$ .

31.05.2013, 08:26

HAB

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Um noch einmal auf meinen Vorschlag mit der Gaußchen Glockenkurve zurück zu kommen.

Diese ( die Glockenkurve) unterscheidet sich von deiner Funktion nur durch einen konstanten Faktor, ist aber so normiert, dass das Integral von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gleich 1 ist. Hieraus ergibt sich sofort der Wert deines Integrals.
Die in vielen Schulbüchern besprochene Normierung der Glockenkurve läuft wie von den anderen Helfern schon angesprochen über das "zweidimensionale" Integral.
Das lässt sich aber m.E. geschickter statt mit Polarkoordinaten mit Hilfe der Schalenmethode auswerten.

31.05.2013, 10:02

RavenOnJ

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Was ist an Polarkoordinaten ungeschickt? Die Berechnungsmethode ist doch ein guter Trick, dadurch kann man das Radiusquadrat im Exponenten substituieren, da durch den Übergang zu Polarkoordinaten ein Faktor r unters Integral kommt:

$\begin{eqnarray*} \Bigg\{\int\limits_0^\infty e^{-x^2}dx\Bigg\}^2 = \int\limits_0^\infty e^{-x^2}dx \cdot \int\limits_0^\infty e^{-y^2}dy = \int\limits_0^\infty \int\limits_0^\infty e^{-(x^2+y^2)}\dd x \dd y = \int\limits_0^\infty \int\limits_0^{\pi/2} r e^{-r^2}\dd \phi \dd r = \frac \pi 4 \int\limits_0^\infty e^{-s}\dd s =\frac \pi 4 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^\infty e^{-x^2}dx = \frac {\sqrt{\pi}} 2 \end{eqnarray*}$

31.05.2013, 11:18

Nofeykx

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@HAB:

Der Grund, warum ich von dem Tipp mit der Glockenkurve abgeraten habe, ist, weil diese zu dem Stand, auf dem sich der TE befindet mit Sicherheit nicht verwendet werden darf. Das macht auch wenig Sinn, denn wie meinst du denn, wird der Wert des Integrals der Glockenkurve berechnet: Natürlich genau so, das gibt nen schönen Zirkelschluss, wenn man dieses Ergebnis für die Berechnung verwendet.

31.05.2013, 21:49

Mini Janini

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RE: Integrale bestimen
Damit wäre die 1) erledigt danke besonders an RavenOnj aber auch an die anderen, widmen wir uns dem zweiten Integral

$\begin{eqnarray*} 2) \int_M \! ye^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)} \, d(x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M:=(x,y)\in \mathbb R | y>0, x<y \end{eqnarray*}$

Das Prinzip an sich ist klar. Man integriert nach einer Variablen und lässt die andere konstant und danach macht man es andersrum. Das einzige was mir nicht klar ist, ist sind die Grenzen.
Für y gilt doch von Null bis unendlich bzw. y? Für das x-Integral ist ja x<y, ich weiß nicht wie ich das bestimmen soll.

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