Transformationssatz

30.05.2013, 17:47

Vinterblot

Transformationssatz

Hallo,

folgende Aufgabe

Zitat:

Berechnen Sie das Integral
$\begin{eqnarray*} \int_B \sqrt(x+y) dxdy \text{, } B := {(x,y) | 0 \leq x + y \leq 1, 0 \leq 2x - 3y \leq 4} \end{eqnarray*}$
Hinweis: Benutzen Sie den Transformationssatz

Ich nehme an, Polarkoordinaten sind in diesem Fall das Mittel der Wahl, da nur x und y ohne z.

$\begin{eqnarray*} x = r * cos(\phi), 0 \leq r \leq R y = r * sin(\phi), 0 \leq \phi \leq 2\pi \end{eqnarray*}$

Der Transformationssatz besagt, dass man die Determinante der Ableitungsmatrix bilden muss

$\begin{eqnarray*} Df = \begin{pmatrix} cos(\phi) & -rsin(\phi) \\ sin(\phi) & rcos(\phi) \\ \end{pmatrix} \Rightarrow det(Df) = rcos^2(\phi) + rsin^2(\phi) = r \end{eqnarray*}$

Wenn ich dass ganze nun einsetze erhält man:
$\begin{eqnarray*} \int_B \sqrt(x+y) dxdy = \int_B \sqrt(rcos(\phi) + rsin(\phi)) * r drd\phi \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle komme ich nun leider nicht weiter.
Die Frage die ich mir Stelle ist, welche Grenzen ich nun einsetzen muss? Wie helfen mir die Angaben

$\begin{eqnarray*} 0 \leq x + y \leq 1 0 \leq 2x - 3y \leq 4 \end{eqnarray*}$

da weiter?

Sind Polarkoordinaten überhaupt der richtige Ansatz? Dass transformierte Integral erscheint mir auch nicht unbedingt simpler zu lösen.

30.05.2013, 18:25

Theend9219

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RE: Transformationssatz
Hey,

also ich bekomme das gleiche für die Jakobi Matrix und Determinante raus. Du hast auch richtig in das Integral eingesetzt.
Mit $\begin{eqnarray*} B := (x,y) |0 \leq x+y \leq 1.0 \leq 2x-3y \leq 4 \end{eqnarray*}$ Kannst du diese Ungleichung denn irgendwie vereinfachen?
Du könntest doch $\begin{eqnarray*} r*cos(\phi) +r*sin(\phi) \end{eqnarray*}$ schreiben als $\begin{eqnarray*} r*(cos(\phi)+sin(\phi)) \end{eqnarray*}$
Und dann hast du $\begin{eqnarray*} \sqrt{ r*cos(\phi) +r*sin(\phi)} = \sqrt{r*(cos(\phi)+sin(\phi))} = \sqrt{r}*\sqrt{cos(\phi)+sin(\phi)} \end{eqnarray*}$

30.05.2013, 18:35

Vinterblot

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Hi,

den letzten Schritt habe ich hier zuhause auf dem Papier schon vollzogen, hatte dass nur nicht mehr im ersten Beitrag angefügt. Ausserdem kann man ja noch die x und y aus den Bedingungen entsprechend gegen rcos und rsin austauschen.

Richtig weiterbringen tut mir dass aber leider nicht verwirrt

30.05.2013, 18:41

Theend9219

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hast du mal versucht die ungleichung anders zu schreiben damit du x und y eingrenzen kannst?

30.05.2013, 18:46

Vinterblot

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Ich tu mich schwer aufgrund der zwei $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ , die jede Gleichung besitzt.
Aber ich habe natürlich schon folgendes gemacht

$\begin{eqnarray*} x + y \leq 1 \Rightarrow x \leq 1 - y 2x - 3y \leq 4 \Rightarrow x \leq 2 + \frac{3}{2}y \Leftrightarrow y \geq \frac{2}{3}x- \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

30.05.2013, 18:51

Theend9219

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Huhu .. naja also du kannst das auseinanderziehen(glaube ich)

Also: $\begin{eqnarray*} 1.0 \leq 2x-3y \leq 4 \end{eqnarray*}$

und das ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{2(x-2)}{3} \leq y \leq \frac{1}{3}(2x-1) \end{eqnarray*}$
Und so kann man das dann auch mit der anderen machen.

LG

30.05.2013, 18:55

Vinterblot

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Ich glaub da gibt es ein Missverständnis, denn das sind ja zwei Gleichungen, nicht eine.

Also $\begin{eqnarray*} 0 \leq x + y \leq 1 0 \leq 2x - 3y \leq 4 \end{eqnarray*}$

Aber das "Einkesseln" werde ich versuchen, d.h. ich hab dann als obere und untere Grenze jeweils eine Funktion f(x), die mir y bringt, korrekt? So sollte es bei mehrdimensionalen Integralen ja auch sein smile

30.05.2013, 18:58

Theend9219

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Ja das müsstest du dann haben Big Laugh

Ja tut mir leid das stimtm natürlich

30.05.2013, 19:04

Vinterblot

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Die Grenzen für r kommen dann aus der normalen Parametrisierung ? Also
$\begin{eqnarray*} 0 \leq r \leq 1 \end{eqnarray*}$

?

Meine Grenzen wären dann entsprechend:
$\begin{eqnarray*} 0 \leq r \leq 1\text{und} \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} \leq y \leq 1 - x \end{eqnarray*}$

Allerdings hab ich dann das Problem, dass auf den ersten Blick
das Integral auch nicht so ganz einfach zu lösen ist, oder täusche ich mich da?

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