Quadratische Form

30.05.2013, 17:52	matti_	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Form Hallo, sei $\begin{eqnarray} Q(X)=X^T \tilde{Q} X \end{eqnarray}$ eine quadratische Form in zwei Variablen (im 2-dimensionalen). Dann gilt: $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ repräsentiert $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ äquivalent zur quadratischen Form $\begin{eqnarray} (n,x,m) = n^2X + x XY +m Y^2 \end{eqnarray}$ ist für gewisse Zahlen $\begin{eqnarray} m,x \in \mathbb Z. \end{eqnarray}$ Wie kann man das beweisen? Ich dachte, ich verwende einfach die Definition von Äquivalenz, aber das mag mir nicht so recht gelingen. Sei zunächst $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ repräsentiert durch $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} Q(X)=aX^2+bXY+dY^2=X^T \tilde{Q} X \end{eqnarray}$ mit einer Matrix $\begin{eqnarray} \tilde{Q} =\begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Es existiert $\begin{eqnarray} y=(y_1,y_2)^T \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Q(y)=n \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist, dass es eine Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb Z) \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} \tilde Q = A^T Q_2 A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Q_2 = \begin{pmatrix} n & \frac{x}{2} \\ \frac{x}{2} & m \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Ich hab dann $\begin{eqnarray} A^T Q_2 A \end{eqnarray}$ konkret ausgerechnet und die Einträge mit $\begin{eqnarray} \tilde Q \end{eqnarray}$ verglichen, aber ich komme auf keinen grünen Zweig. Was mache ich falsch?? Danke für eure Hilfe! Matti

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