Bevölkerungswachstum (Zerfallsgesetz, Logarithmieren)

30.05.2013, 20:21	Científico	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevölkerungswachstum (Zerfallsgesetz, Logarithmieren) Hallo! Zur Berechnung des Bevölkerungswachstums haben wir das Zerfallsgesetz $\begin{eqnarray} N_{t} = N_{0} \cdot e^{-\lambda \cdot t } \end{eqnarray}$ angewandt. BSP: Während im Jahr 2000 lebten in Delhi etwa 12 Millionen Menschen lebten, waren es im Jahr 2009 um 3 Millionen mehr. Berechnen Sie die jährliche Wachstumsrate in Delhi! Wir haben dann für $\begin{eqnarray} N_{t} \end{eqnarray}$ 15, für $\begin{eqnarray} N_{0} \end{eqnarray}$ 12 und für t 9 eingesetzt. Anders als in der Formel haben wir allerdings mit einem positiven Lambda und nicht $\begin{eqnarray} -\lambda \ \end{eqnarray}$ gerechnet - warum? Ich weiß leider nicht, wie man überhaupt auf das negative Lambda in der Formel kommt, aber meine Überlegung ist, dass das Bevölkerungswachstum erkennbar positiv ist und deswegen auch das Lambda positiv ist. $\begin{eqnarray} 15=12\cdot e^{9\cdot \lambda } \end{eqnarray}$ (Hier ist die "Sprungstelle" - das positive Lambda) $\begin{eqnarray} 1,25=e^{9\cdot \lambda } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln1,25=9\cdot \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda =\frac{ln1,25}{9} =0,0247=2,47% \end{eqnarray}$ Liebe Grüße!
30.05.2013, 20:32	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Formel mit $\begin{eqnarray} -\lambda \end{eqnarray}$ benutzt man in der Regel für Schrumpfungsprozesse. Die Formel mit $\begin{eqnarray} +\lambda \end{eqnarray}$ benutzt man in der Regel für Wachstumsprozesse. Bei dir ist es jetzt ein Wachstumsprozess $\begin{eqnarray} \Rightarrow +\lambda \end{eqnarray}$ . Du hättest aber auch die Formel mit $\begin{eqnarray} -\lambda \end{eqnarray}$ nehmen können. Dann hättest du für $\begin{eqnarray} \lambda= -0,0247 \end{eqnarray}$ herausbekommen. Damit wäre aber $\begin{eqnarray} -\lambda=+0,0247 \end{eqnarray}$ . Und es wäre am Ende das Gleiche herausgekommen. Grüße.
30.05.2013, 21:02	Científico	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort! Jetzt hab ich es verstanden! Gibt es irgendeinen logischen Grund, warum die Zahl e, die ja eigentlich der Wirtschaftsmathematik entstammt, in dem Zerfallsgesetz vorkommt? MfG
30.05.2013, 21:51	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
In beiden Fällen werden stetige Wachstumsprozesse beschrieben. Einmal wächst das Kapital stetig um einen kleinen Prozentsatz in einem sehr kleinen Zeitintervall. Und hier wächst die Bevölkerung stetig um einen kleinen Prozentsatz in einem sehr kleinen Zeitintervall. In beiden Fällen ist das Zeitintervall fast Null. Je mehr Zeitintervalle man hat, desto kleiner ist die Größe der Zeitintervalle und desto kleiner ist auch das Wachstum pro Zeitintervall. Mathematisch gilt dann $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{i}{n} \right) ^n=e^i \end{eqnarray}$ Links der Gleichung steht praktisch das diskrete Wachstum innerhalb ganz vielen Zeitintervallen. Und rechts der Gleichung das stetige Wachstum. In der Finanzmathematik ist i der Zinssatz ist. Das gilt aber nur für die kontinuierliche Verzinsung. Es wird praktisch dauernd verzinst. Beim Bevolkerungswachstum ist ein kontinuierliches Wachstum eigentlich nicht möglich, da der einzelne Mensch immer eine feste mathematische Größe hat. Der Mensch lässt sich nicht beliebig zerteilen, der Zins schon. Es ist also eher eine Approximation, wenn man beim Bevolkerungswachstum ein stetiges Wachstum unterstellt. Jedenfalls freut es mich, dass du das mit dem Lambda verstanden hast.
31.05.2013, 22:19	Científico	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine detaillierten und vor allem verständlichen Antworten!
01.06.2013, 15:39	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne.
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