aus L^p Konvergenz folgt nicht fast sichere Konvergenz

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Müh01 Auf diesen Beitrag antworten »
aus L^p Konvergenz folgt nicht fast sichere Konvergenz
Hallo!

Habe folgende Aufgabe zu lösen:

Finde ein Beispiel dafür, dass aus - Konvergenz nicht fast sichere Konvergenz folgt.
Als Hinweis steht noch: Benutze Lebesgue-Mass auf [0,1] und als Zufallsvariablen Vielfache von Indikatorfunktionen von Intervallen!

Definition der - Konvergenz:

für

Defintion der f.s.-Konvergenz:



Ich habe leider keine Idee wie ich die Folge wählen soll damit die - Konvergenz erfüllt ist und die f.s.-Konvergenz aber nicht.

Danke schon mal für die Hilfe!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

in L^1, aber nicht f.ü. konvergente Folge
Müh01 Auf diesen Beitrag antworten »

oke danke erstmal für den link.

Habe mir die Folge mit und für angeschaut und sehe auch, dass sich die Intervalle mit jedem größeren k halbieren.

Für den Erwartungswert bekomme ich:



weil wir ja das Lebesgue-Mass auf [0,1] voraussetzen und ich X:=0 definiert habe. Ich bin mir aber nicht sicher ob das hoch p da auch dazugehört?

Wenn obiges stimmt gilt und daher die Konvergenz erfüllt!

Das nun die f.s. Konvergenz nicht erfüllt ist, ist ja irgendwie aus der Folge ersichtlich, da für die Realisationen der Folge die Konvergenz gegen 0 nicht gilt und daher auch die Wahrscheinlichkeit nicht 1, aber mir fehlt da ein konkretes Argument.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Argumentation kann kaum einfacher sein:

Für jedes und jedes findest du ein mit und . Damit gilt für kein , es ist somit sogar .
Müh01 Auf diesen Beitrag antworten »

oke stimmt ist eh klar

danke für die Hilfe Freude

LG
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