Alle Lösungen einer Sinus-Gleichung bestimmen

30.05.2013, 21:54

Koloteki

Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Lösungen einer Sinus-Gleichung bestimmen

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein Problem mit einer Aufgabe, ich habe eine Gleichung sin(x)=0,65, von dieser soll ich alle Lösungen ermitteln im Intervall pi<x<5pi. Kann mir jemand zeigen wie man das macht, wäre echt klasse, hoffe jemand kann mir helfen. mfG

Meine Ideen:
x0=sin^-1(0,65)

x0=0,708
x1=pi-0,708=2,43
x2=pi+0,708=3,849
x3=2pi+0,708=6,99

Hoffe sehr jemand hilft mir

30.05.2013, 22:00

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Koloteki
x0=0,708
x1=pi-0,708=2,43
x2=pi+0,708=3,849
x3=2pi+0,708=6,99

Stimmt nicht - rechne mal nach. Die anderen sind Ok.

Die Grundlösungen sind $\begin{eqnarray*} \arcsin(0.65) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi-\arcsin(0.65) \end{eqnarray*}$ , damit hast du Recht. Zuzüglich dann sämtliche Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , der Periode der Sinusfunktion (also NICHT $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) . Jetzt musst du schauen, welche davon im Intervall $\begin{eqnarray*} (\pi,5\pi) \end{eqnarray*}$ liegen.

30.05.2013, 22:10

Terminator IIX.

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo erst mal, ich glaube x2=pi+0,708, dann müsste aber auch mein x3 falsch sein, oder ? Und gibt es auch x4, x5, x6 usw. , wie berechnet man die ? ( Auch wenn ich sie jetzt nicht brauche )

Übrigens Koloteki bin ich.

30.05.2013, 22:46

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Terminator IIX.
Hallo erst mal, ich glaube x2=pi+0,708, dann müsste aber auch mein x3 falsch sein, oder ?

x3 ist wieder richtig.

Zitat:

Original von Terminator IIX.
Und gibt es auch x4, x5, x6 usw. , wie berechnet man die ?

Eigentlich habe ich genau das oben dargelegt:

Zitat:

Original von HAL 9000
Zuzüglich dann sämtliche Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , der Periode der Sinusfunktion

Wieso lesen soviele Leute die Beiträge nicht, muss man wirklich alles mehrfach wiederholen? unglücklich

unglücklich

30.05.2013, 22:47

Terminator IIX.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab's nich verstanden, deswegen..

30.05.2013, 22:50

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

...

$\begin{eqnarray*} \arcsin(0.65)-4\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \arcsin(0.65)-2\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \arcsin(0.65) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \arcsin(0.65) + 2\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \arcsin(0.65) + 4\pi \end{eqnarray*}$

...

Sowie für die andere Lösungsschar

...

$\begin{eqnarray*} \pi-\arcsin(0.65)-4\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi-\arcsin(0.65)-2\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi-\arcsin(0.65) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi-\arcsin(0.65) + 2\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi-\arcsin(0.65) + 4\pi \end{eqnarray*}$

...

Anzeige

30.05.2013, 22:51

Terminator IIX.

Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, was ist denn das aufeinmal ?

30.05.2013, 22:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Auflistung der Lösungen auf andere Art, die erste hast du ja nicht begriffen. Wenn du jetzt auch die zweite nicht begreifst, dann bin ich mit meinem Erklärlatein am Ende. unglücklich

unglücklich

Gute Nacht.

30.05.2013, 22:55

Terminator IIX.

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh je, das hör ich oft..naja gute Nacht trotzdem danke

31.05.2013, 13:35

Terminator IIX.

Auf diesen Beitrag antworten »

x2=2pi+0,708
ODER ? Big Laugh

Big Laugh

DDDDDDDDD

31.05.2013, 17:06

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Terminator IIX.
x2=2pi+0,708

Ja, und weiter dann

x3 = 3pi - 0,708
x4 = 4pi + 0,708
...

Anscheinend hat dich oben nur das $\begin{eqnarray*} \arcsin(0.65) \end{eqnarray*}$ aus dem Tritt gebracht - das ist nur die exakte Variante des von dir immer gerundet angebrachten $\begin{eqnarray*} 0.708 \end{eqnarray*}$ , mehr nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.05.2013, 18:15

Terminator IIX.

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut gut, das habe ich so weit verstanden,nur was ist wenn x0 negativ ist ? Was passiert dann
können Sie mir danach bei einer weiter Aufgabe helfen ?

31.05.2013, 18:38

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Terminator IIX.
Gut gut, das habe ich so weit verstanden,nur was ist wenn x0 negativ ist ?

Das ändert überhaupt nichts am Vorgehen. Wenn z.B. die andere Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin(x) = -0.65 \end{eqnarray*}$ zu lösen ist, dann bekommst du $\begin{eqnarray*} x_0 = \arcsin(-0.65) = -\arcsin(0.65) \approx -0.708 \end{eqnarray*}$ und die Lösungen

$\begin{eqnarray*} x_1 = \pi - (-0.708) = \pi + 0.708 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 2\pi + (-0.708) = 2\pi - 0.708 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 = 3\pi + 0.708 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4 = 3\pi - 0.708 \end{eqnarray*}$

usw.

Falls dich auch die negativen Lösungen interessieren, musst du natürlich auch noch in negative Richtung "marschieren":

$\begin{eqnarray*} x_{-1} = -\pi - (-0.708) = -\pi + 0.708 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{-2} = -2\pi - 0.708 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{-3} = -3\pi + 0.708 \end{eqnarray*}$

usw., aber bitte nicht erneut Verwirrung zeigen wegen des negativen Index, das ist Willkür von mir und inhaltlich unwichtig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Terminator IIX.
können Sie mir danach bei einer weiter Aufgabe helfen ?

Neue Aufgabe, neues Glück - es hilft der, der gerade Zeit und Lust hat. Und nicht siezen, wir sind hier beim "Du", unabhängig von Alter oder Kompetenz.

31.05.2013, 18:43

Terminator IIX.

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank, also es geht um diese Aufgabe:

Ich soll die Basislösungen der Funktion 2sin(2x+4) -1 = 0 im Intervall 0<x<pi berechnen

2sin(2x+4) -1 = 0 , 2x+4 substituiert, nach x aufgelöst, also mein x0, es kam -1,738 raus

31.05.2013, 18:59

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Terminator IIX.
2sin(2x+4) -1 = 0 , 2x+4 substituiert, nach x aufgelöst

Mal Schritt für Schritt: Wenn man $\begin{eqnarray*} t=2x+4 \end{eqnarray*}$ substituiert, so erhält man umgeformt

$\begin{eqnarray*} 2\sin(t)-1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(t) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und kann erstmal die $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Lösungen genau wie oben bestimmen, also $\begin{eqnarray*} t_1,t_2,\ldots \end{eqnarray*}$

Zu jeder dieser Lösungen gehört eine $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Lösung, und zwar gemäß $\begin{eqnarray*} t_k = 2x_k+4 \end{eqnarray*}$ , durch Umstellung $\begin{eqnarray*} x_k = \frac{t_k-4}{2} \end{eqnarray*}$ gewinnst du diese aus den bereits ermittelten $\begin{eqnarray*} t_k \end{eqnarray*}$ - sowas nennt man dann Rücksubstitution.

Da hier nur die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Lösungen im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,\pi) \end{eqnarray*}$ gesucht werden, machst du dir im Rahmen der hier getätigten Substitution am besten schon zwischendurch Gedanken, was das für die zugehörigen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Lösungen intervallmäßig bedeutet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.05.2013, 19:31

Terminator IIX.

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich habe sofort wieder rück substituiert
t=0,5235
2x+4=t
x0= -1,738

x1=pi+ 1,738=1,4
x2=2pi- 1,738=4,5
x3=3pi+1,738=7,6

Passt da also nur x1 rein..?

Bei sin(t)=1/2

dan bekomme ich t0 raus, mach ich dann einfach regulär weiter mit

31.05.2013, 19:35

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Terminator IIX.
Also, ich habe sofort wieder rück substituiert
t=0,5235
2x+4=t
x0= -1,738

x1=pi+ 1,738=1,4
x2=2pi- 1,738=4,5
x3=3pi+1,738=7,6

Nein, das ist falsch!!! Du kannst nicht die $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ auf der ganz anderen Skale so behandeln, wie die $\begin{eqnarray*} t_k \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

Versuch bitte mal, dich an meine Vorgehensbeschreibung zu halten, dann siehst du, was du falsch gemacht hast.

31.05.2013, 19:48

Terminator IIX.

Auf diesen Beitrag antworten »

t0=0,5235
t1= pi - 0,5235=2,618
t2=2 pi + 0,5235=6,807
t3=3 pi - 0,5235=8,9012

alles rück substituieren:

x1=-0,691
x2=1,4035
x3=2,45

So, oder ?

31.05.2013, 19:50

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so!

Freude

Gerade, wenn man noch ein wenig unsicher ist, empfiehlt sich: Probe machen!

31.05.2013, 19:54

Terminator IIX.

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen vielen dank,

kann ich hier im Post noch Fragen stellen, nur prophylaktisch, weil ich 100%ig wieder Fragen zu anderen Aufgaben haben werde ?

31.05.2013, 19:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es thematisch sehr eng zu den bisherigen Fragen passt, dann ja.

Ansonsten bitte einen neuen Thread aufmachen.

31.05.2013, 20:04

Terminator IIX.

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen dank

31.05.2013, 21:02

Terminator IIX.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab schon eine Frage:

Und zwar hab ich so etwas wie Formeln für die Berechnung der Basislösungen einer Sinusfunktion, wie lauten die Formeln für eine Tangenzfunktion bzw. Cosinusfunktion ?

Die für die Cosinusfunktion hab ich versucht durch eine Zeichnung zu errechnen:

x1= pi-x0
x2=2pi+x0
x3=3pi-x0
usw.

Genau so wie beim Sinus..

Ändern sich die Formel wenn wir zum Beispiel eine Funktion mit verschiedenen Parametern haben oder gelten die allgemein für alle ?

01.06.2013, 22:39

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, deine Analogiebetrachtungen zur Sinusfunktion gehen viel zu weit. (Leider hast du mit deinen falschen Rechenregeln auch schon den nächsten Thread verseucht.)

Richtig ist, dass auch der Kosinus die Grundperiode $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ hat.

Falsch ist, dass für Gleichung $\begin{eqnarray*} \cos(x)=a \end{eqnarray*}$ die nach $\begin{eqnarray*} x_0 = \arccos(a) \end{eqnarray*}$ nächstgrößere Lösung gleich $\begin{eqnarray*} \pi-\arccos(a) \end{eqnarray*}$ ist - tatsächlich ist in Folge dann

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2\pi - \arccos(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 2\pi + \arccos(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 = 4\pi - \arccos(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4 = 4\pi + \arccos(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_5 = 6\pi - \arccos(a) \end{eqnarray*}$

...

Und die Lösungen vorher, d.h. in negativer Richtung:

$\begin{eqnarray*} x_{-1} = -\arccos(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{-2} = -2\pi + \arccos(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{-3} = -2\pi - \arccos(a) \end{eqnarray*}$

Einfach mal die Skizzen anschauen, dann sollten die Symmetriebeziehungen im Grundintervall eigentlich klar sein:

Beim Tangens ist es einfacher: Der hat als Grundperiode $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , und es gibt neben der Grundlösung dann aber auch nur die um k\pi verschobenen Werte. D.h. Gleichung $\begin{eqnarray*} \tan(x) = a \end{eqnarray*}$ ergibt die Lösungen

$\begin{eqnarray*} x_0 = \arctan(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = \pi + \arctan(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 2\pi + \arctan(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 = 3\pi + \arctan(a) \end{eqnarray*}$

...

Abschließend auch noch das Bild zum Sinus

P.S.: Ich frage mich, warum man hier im Board immer wieder solche "Vorlesungen" zum Umkehren von trigonometrischen Funktionen abhalten muss: Wird das nicht mehr in der Schule behandelt??? unglücklich

unglücklich

01.06.2013, 23:39

Terminator IIX.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ogott du rettest Leben, weißt du das ! Vielen Dank!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »