Diskrete Gleichverteilung

30.05.2013, 22:28

Noto

Diskrete Gleichverteilung

Meine Frage:
Ich hab bei folgender Aufgabe Schwierigkeiten die Summen aufzulösen. Bei allem anderen Aufgaben ergibt sich immer ein handlicher Term.

Gegeben ist die Diskrete Gleichverteilung $\{1,...,n\}$ mit $P(X=i)=\frac{1}{n}$ für alle $i \in \{1,...,n\}$

Erwartungswert und Varianz hab ich mit Gaußscher Summenformel bzw. deren Erweiterung für Quadratzahlen gelöst

Am Ende der Aufgabe sollen wir..

1. Een Erwartungswert und Varianz Y=log(X) berechnen

2- Das k-te Moment von X, sowie k-tes zentrales Moment von X berechnen

Meine Ideen:
Hier sind meine Ansätze

Zu 1.
\[ EX = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n} \log(i) \]
\[ EX^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n} \log(i)^2 \]

Nun würde ich gern eine Reihe anwenden hab aber nichts diesbezüglich gefunden oder bin ich blind. Varianz habe ich noch nicht angefangen aber das ist ja denke ich nicht schwer wenn ich die beiden Werte habe.

Zu 2.
\[ \mu_k = EX = \sum_{i=0}^{n} x_i p_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i^k = \frac{1}{n} \frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{k+1}{j} B_{j}n^{k+1-j} \]
\[ m_k = E(X-EX)^k = E(X - \frac{n+1}{2})^k = E (\sum_{i=0}^k \binom{k}{i} X^i (-\frac{n+1}{2})^{k-i})\]

Bei 2. habe ich die Faulhabersche Reihe bei Wikipedia gefunden

Bitte helft mir doch mal auf die Sprünge.

30.05.2013, 23:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Noto
Zu 1.
\[ EX = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n} \log(i) \]
\[ EX^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n} \log(i)^2 \]

Hier geht es um $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ statt um $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Außerdem beginnen die Summen bei $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$ statt bei $\begin{eqnarray*} i=0 \end{eqnarray*}$ .

Bei der Vereinfachung der ersten Summe denk an Fakultäten. Bei der zweiten ist das leider nicht so möglich.

31.05.2013, 00:10

Noto

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry ich seh schon X ist natürlich Y und die Summe geht ab 1. Leider hab ich mein Passwort vergessen und kann den ersten Beitrag nicht editieren. Wenn es mir per Mail zugeschickt wurde versuche ich es noch mal übersichtlicher.

Der Hinweis mit der Fakultät hat mich leider noch nicht weiter gebracht. Mir ist leider kein Zusammenhang [latex] \sum_{i=1}^\infty \log(i) [\latex] und Fakultät bekannt.
Wenn ich das hätte könnte ich ja versuchen die Varianz mit der Formel : E(X-EX) zu berechnen dan bräuchte ich EX^2 nicht.

31.05.2013, 00:27

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Noto
Mir ist leider kein Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty \log(i) \end{eqnarray*}$ und Fakultät bekannt.

Wieso hast du jetzt obere Grenze $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ??? Bitte etwas mehr aufpassen, das ist ein weiterer Fehler mit den Indexgrenzen, das muss doch nicht in dieser Fülle sein. unglücklich

Und die Logaritmengesetze kennst du doch: Nach denen ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \log(i) = \log\left( \prod_{i=1}^n i \right) = \log(n!) \end{eqnarray*}$ .

31.05.2013, 00:27

Noto

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs jetz noch mal editiert und die Irrtümer hoffentlich beseitigt.

Ich hab bei folgender Aufgabe Schwierigkeiten die Summen aufzulösen. Bei allem anderen Aufgaben ergibt sich immer ein handlicher Term.

Gegeben ist die Diskrete Gleichverteilung $\begin{eqnarray*} $\{1,...,n\}$ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(X=i)=\frac{1}{n} \forall i \in \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ $

Erwartungswert und Varianz hab ich mit Gaußscher Summenformel bzw. deren Erweiterung für Quadratzahlen gelöst

Am Ende der Aufgabe sollen wir..

1. Een Erwartungswert und Varianz $\begin{eqnarray*} Y= \log(X) \end{eqnarray*}$ berechnen

2- Das k-te Moment von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , sowie k-tes zentrales Moment von X berechnen

Meine Ideen:
Hier sind meine Ansätze

Zu 1.
$\begin{eqnarray*} EY = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log(i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} EY^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log(i)^2 \end{eqnarray*}$

Der Fakultätshinweis hat mich nicht weitergebracht, aber Danke.

Nun würde ich gern eine Reihe anwenden hab aber nichts diesbezüglich gefunden oder bin ich blind. Varianz habe ich noch nicht angefangen aber das ist ja denke ich nicht schwer wenn ich die beiden Werte habe.

Zu 2.
$\begin{eqnarray*} \mu_k = EX = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i^k = \frac{1}{n} \frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{k+1}{j} B_{j}n^{k+1-j} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_k = E(X-EX)^k = E(X - \frac{n+1}{2})^k = E (\sum_{i=1}^k \binom{k}{i} X^i (-\frac{n+1}{2})^{k-i}) \end{eqnarray*}$

Bei 2. habe ich die Faulhabersche Reihe bei Wikipedia gefunden

Bitte helft mir doch mal auf die Sprünge.

31.05.2013, 00:31

Noto

Auf diesen Beitrag antworten »

Da war ja leicht. Ich sollte wahrscheinlich mal eine Pause machen. Ich bin doch schon ganz schön fehlerblind. Vielen Dank Hal

31.05.2013, 10:10

Noto

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat vielleicht noch jemand eine Idee zu Punkt 2, oder geht das nicht einfacher ? Ich denke ich kann beim zentralen Moment das E in die Summe reinziehen und erhalte dann
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^k \binom{k}{i} EX^i (-\frac{n+1}{2})^{k-i} \end{eqnarray*}$
und würde dann für $\begin{eqnarray*} EX^i \end{eqnarray*}$ die unhandliche Formel von Punkt 2.1 einsetzen.

Neue Frage »

Antworten »

Diskrete Gleichverteilung

Verwandte Themen