Unterschied zwischen Konvergenz auf R und C

31.05.2013, 11:34

tamtamtam

Unterschied zwischen Konvergenz auf R und C

Meine Frage:
Hallo Allerseits,

ich bin etwas verwirrt bezüglich Konvergenz von kompexen Zahlenfolgen und wie diese mit der Vollständigkeit von den komplexen Zahlen zusammenhängt. Könnte mir deshalb jemand ein Beispiel von einer Folge die auf C, aber nicht auf R konvergiert geben.

Danke,
tamtamtam

Meine Ideen:
Ich weiß nur, dass die komplexen Zahlen ja keine Ordnungsstruktur haben. Die Konvergenz von Folgen in R verstehe ich. Es will mir nur einfach nicht klar werden wie eine Konvergenz in C aussehen soll.

31.05.2013, 12:34

RavenOnJ

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Auch für komplexe Zahlenfolgen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \left(\lim_{n \to \infty} a_n = a \right) \quad \Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon>0 \; \exists N\in\mathbb{N} \; \forall n>N: \;\left|a_n-a \right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ muss Cauchy-Folge sein und $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ vollständig.

Das verstehe ich nicht:

Zitat:

Könnte mir deshalb jemand ein Beispiel von einer Folge die auf C, aber nicht auf R konvergiert geben.

Entweder es ist eine reelle Zahlenfolge, dann konvergiert sie auch auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (falls sie überhaupt einen Limes hat), da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ vollständig ist, oder es ist eine komplexe Zahlenfolge. Die kann dann gegebenenfalls auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ konvergieren.

31.05.2013, 13:51

tamtamtam

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Danke RavenOnJ,

habe das mit dem Zusammenhang zwischen dem Grenzwert von komplexen Zahlenfolgen und der Vollständigkeit von C jetzt verstanden.

Also was ich mit der Frage nach einem Beispiel wissen wollte, ist wie man bei einer komplexen Zahlenfolge dann konkret den Grenzwert berechnet. Da ja die Folge dann aus einen reellen Teil und einem imaginären Teil besteht.

Setzt sich dann der Grenzwerte dann aus den einzeln berechneten Grenzwerten für den reellen und imaginären Teil zusammen?

tamtamtam

31.05.2013, 14:23

RavenOnJ

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Ja, genau so kannst du es machen. Betrachte Real- und Imaginärteil separat und bilde die Grenzwerte. Die kannst du dann wieder zusammenfügen zu Real- und Imaginärteil des Limespunktes der komplexen Folge. Der Grund dafür, dass das möglich ist, liegt in

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = \lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n \end{eqnarray*}$

für zwei konvergente Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n),(b_n) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(x_n+iy_n) = \lim_{n\to\infty}x_n+i\lim_{n\to\infty}y_n \end{eqnarray*}$

mit den Folgen der Real- und Imaginärteile einer komplexen Folge.

31.05.2013, 15:02

tamtamtam

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Vielen, vielen Dank, hab es jetzt verstanden. Freude

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