Laurententwicklung

31.05.2013, 13:36	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurententwicklung Hey, in unserer Vorlesung geht es um Laurentreihen. Sei $\begin{eqnarray} z_{0} \in \mathbb C, 0 \leq r < R \leq \infty \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} f: K_{z_{0}} (r,R) \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray}$ holomorph. Dann lässt sich f in eine Laurentreihe entwickeln. $\begin{eqnarray} f(z) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} a_{k} (z-z_{0})^{k}, z \in K_{z}(r,R) \end{eqnarray}$ und die Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_{k} \end{eqnarray}$ kann man angeben $\begin{eqnarray} k\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ sind gegeben durch: $\begin{eqnarray} \int a_{k} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B_{\xi}(z_{0})} \frac{f(w)}{(w-z_{0})^{k+1}} dw \end{eqnarray}$ wir haben in Funktionentheorie folgendes Lemma. $\begin{eqnarray} \int_{\partial B_{\xi_{1}}(0)} \hat{g}(w) dw = \int_{\partial B_{\xi_{2}}(0)} \hat{g}(w) dw \end{eqnarray}$ Bei Einsetzung folgt: $\begin{eqnarray} \int_{\partial B_{\xi_{1}}(0)} \frac{f(w)}{w-z} - f(z) \int_{\partial B_{\xi_{1}}(0)} \frac{1}{w-z} dw = \int_{\partial B_{\xi_{2}}(0)} \frac{f(w)}{w-z} - f(z) \int_{\partial B_{\xi_{2}}(0)} \frac{1}{w-z} dw \end{eqnarray}$ Und nun steht da $\begin{eqnarray} \int_{\partial B_{\xi_{1}}(0)} \frac{1}{w-z} dw = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_{\partial B_{\xi_{2}}(0)} \frac{1}{w-z} dw = 2\pi i \end{eqnarray}$ Wie komme ich auf $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und auf $\begin{eqnarray} 2\pi i \end{eqnarray}$ ?
31.05.2013, 15:34	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laurententwicklung Leider machst du keine Angaben über $\begin{eqnarray} B_{\xi_1} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} B_{\xi_2} \end{eqnarray}$ . Ich nehme an, dass $\begin{eqnarray} B_{\xi_1}(0) \end{eqnarray}$ den Punkt z nicht enthält, während $\begin{eqnarray} B_{\xi_2}(0) \end{eqnarray}$ den Punkt z enthält. Das Integral über eine holomorphe Funktion längs einer geschlossenen Kurve ist nicht abhängig vom Integrationsweg. Also $\begin{eqnarray} \int_{\partial B_{\xi_1}} f(\omega)d\omega =0 \end{eqnarray}$ Aber, falls der Integrand in dem Gebiet bei z=0 eine Polstelle hat, erhält man mit der Substitution $\begin{eqnarray} \omega=z+re^{i\phi} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d\omega = ire^{i\phi}d\phi \end{eqnarray}$ das Integral $\begin{eqnarray} \int_{\partial B_{\xi_2}(0)} \frac{1}{\omega-z} d\omega =\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{re^{i\phi}} ire^{i\phi}d\phi=\int_{0}^{2\pi} i d\phi = 2\pi i \end{eqnarray}$ Fall z nicht in dem Gebiet liegt, ist diese Substitution nicht erlaubt, da dann der Integrationsweg nicht mehr innerhalb des Gebiets liegt.

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