Verteilung von Zufallsvariablen

31.05.2013, 14:45

rocknroll

Verteilung von Zufallsvariablen

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:

Die N-wertige Zufallsvariable X sei geometrisch mit Parameter p ? (0, 1)
verteilt. Bestimmen Sie die Verteilung der Zufallsvariablen Y1 = exp(X)
und Y2 =(X-3)^2!

Meine Ideen:
Ich bin mir leider nicht sicher, wie ich das Ganze anzugehen habe.

Also ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} P(X=n)=p(1-p)^{n-1} \end{eqnarray*}$ die geometrische Verteilung ist.

Muss ich jetzt, um die Verteilung von Y1 oder Y2 zu bestimmen, $\begin{eqnarray*} P(Y1=exp(X))=p(1-p)^{exp(X)-1} \end{eqnarray*}$ bestimmen? Irgendwie scheint mir das nicht der richtige Ansatz zu sein, weil ich damit nicht so viel anfangen kann..

Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar, da mir Zufallsvariablen noch einige Probleme bereiten!

01.06.2013, 15:12

gastt

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RE: Verteilung von Zufallsvariablen

Zitat:

Original von rocknroll

Muss ich jetzt, um die Verteilung von Y1 oder Y2 zu bestimmen, $\begin{eqnarray*} P(Y1=exp(X))=p(1-p)^{exp(X)-1} \end{eqnarray*}$ bestimmen? !

Du musst

$\begin{eqnarray*} P(Y_1=n)=P(exp(X)=n) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P(Y_2=n)=P((X-3)^2=n) \end{eqnarray*}$

bestimmen.

02.06.2013, 21:58

rocknroll

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RE: Verteilung von Zufallsvariablen
ok, aber was mache ich dann damit wenn ich nicht mal p gegeben habe?
Irgendwie stehe ich gerade auf dem schlauch..

02.06.2013, 22:02

rocknroll

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RE: Verteilung von Zufallsvariablen
ich habe ja dann:

$\begin{eqnarray*} P(exp(X)=n)=p(1-p)^{exp(X)-1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P((X-3)^{2}=n)=p(1-p)^{(X-3)^{2}-1} \end{eqnarray*}$

03.06.2013, 00:25

HAL 9000

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Ist mir nicht so ganz klar, was du da tust: Schon allein die Tatsache, dass die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ rechts in dem reellen, nichtzufälligen Wahrscheinlichkeitswert auftaucht, ist ein Ding der Unmöglichkeit.

---------------------------------------------

Eine diskreten Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (wie hier) hat einen abzählbaren Wertebereich. Für eine beliebige messbare Funktion $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ hat dann $\begin{eqnarray*} h(X) \end{eqnarray*}$ ebenfalls einen abzählbaren Wertebereich, nennen wir ihn $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ . Interessant sind dann nur die Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(h(X) = y) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y\in W \end{eqnarray*}$ , die berechnet werden über

$\begin{eqnarray*} P(h(X)=y) = P\left( X\in h^{-1}\left( \{y\} \right) \right) \end{eqnarray*}$

mit der zu $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gehörenden Urbildfunktion $\begin{eqnarray*} h^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Bei injektiven Funktionen wie im ersten Beispiel $\begin{eqnarray*} h(x)=\exp(x) \end{eqnarray*}$ ist dieses $\begin{eqnarray*} h^{-1}\left( \{y\} \right) \end{eqnarray*}$ höchstens einelementig und damit der "normalen" Umkehrfunktion nahezu gleichwertig.

Ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ jedoch nicht injektiv wie etwa $\begin{eqnarray*} h(x) = (x-3)^2 \end{eqnarray*}$ im zweiten Beispiel, dann sieht die Situation schon anders aus: So sind z.B.

$\begin{eqnarray*} h^{-1}(\{1\}) = \{2,4\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h^{-1}(\{4\}) = \{1,5\} \end{eqnarray*}$

03.06.2013, 21:13

rocknroll

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vielen Dank!

also stelle ich exp(X)=n nach X um und setze das dann in die Verteilung ein?

$\begin{eqnarray*} P(X=log(n))=p(1-p)^{log(n)-1} \end{eqnarray*}$

03.06.2013, 21:22

HAL 9000

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Statt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ muss da $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ stehen, ansonsten ist es richtig. Aber wie ich geschrieben habe, unter Beachtung dessen, dass dies nur für bestimmte Werte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt!

Und da muss ich sagen, dass die Symbolwahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ da ziemlich unglücklich ist (vermutlich wird mir Leopold da beipflichten):

Mit diesem Symbol werden gedanklich i.d.R. natürliche Zahlen assoziiert. Davon kann bei deiner Gleichung nun keine Rede sein. Kurzum, es sollte unbedingt dazu gesagt wrden, dass diese deine nun aufgestellte Wahrscheinlichkeitsformel nur für $\begin{eqnarray*} n=\exp(k) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N}_+ \end{eqnarray*}$ gilt. Ich würde schlicht und einfach

$\begin{eqnarray*} P(Y_1=\exp(k)) = p(1-p)^{k-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,2,\ldots \end{eqnarray*}$

schreiben, das ist (zumindest m.E.) weniger verschwurbelt.

03.06.2013, 21:34

rocknroll

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super, danke! Freude

dann versuche ich das ganze mal alleine für Y2 und werde das aus deinen letzten beiträgen beachten!

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