Integrieren durch Substitution

Neue Frage »

31.05.2013, 17:55	xxkleenxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrieren durch Substitution Meine Frage: Hallo, ich muss folgendes Integral berechnen, aber leider stehe ich komplett auf dem Schlauch. Das Integral lautet: $\begin{eqnarray} \int_0^\frac{\pi}{2} \! \frac{dx}{3sin(x)+4cos(x)} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Laut der Lösung wird als Substitution $\begin{eqnarray} u = tan(\frac{x}{2}) \end{eqnarray}$ verwendet, aber leider komme ich damit gar nicht weiter.
31.05.2013, 18:03	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrieren durch Substitution Schauhe in Deine Unterlagen, dort müßtest Du für Sin(x) , Cos(x) und dx Audrücke in Abhängigkeit von u finden setze diese ein und forme den Integrand um Tipp: Ersetze dx durch $\begin{eqnarray} dx= \frac{2 du }{1 + u^{2} } \end{eqnarray}$
31.05.2013, 18:12	Integralos	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe den Sinus und den Kosinus so um : $\begin{eqnarray} sin(x)=\frac{2u}{1+u^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos(x) = \frac{1-u^2}{1+u^2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u=tan(\frac{x}{2}) \end{eqnarray}$ . Etwas umformen und das Intagral lässt sich damit lösen.
01.06.2013, 11:59	xxkleenxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe wie man darauf kommt den Sinus und den Cosinus in die o.g. Formen umzuschreiben.
01.06.2013, 12:10	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
das funktioniert durch trigonometrische Umformungen z.B. kannst Du für für sin(x) schreiben $\begin{eqnarray} sin(x) = \sin(\frac{x}{2}+\frac{x}{2} ) \end{eqnarray}$ ebenso für den cos(x) und erhälst dann die angegebenen Ausdrücke . Habt Ihr sowas in den Vorlesungen gehabt?
01.06.2013, 12:11	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor sich jemand die Mühe macht und eine Herleitung aufschreibt, klinke ich mich mal dazwischen In diesem Beitrag von Lazarus ist eine Herleitung beschrieben. Und jetzt dürft ihr ohne mich weiter machen
Anzeige

01.06.2013, 12:17	xxkleenxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben über viele Umformungen von den trigonometrischen Funktionen gesprochen, aber diese hier geht mir echt nicht in den Kopf. Ich verstehe, dass sin(x/2+x/2) das gleiche wie sin(x)ist, aber der Zusammenhang zu tan(x/2) und dem von mir o.g. Integral wird mir nicht klar.
01.06.2013, 13:16	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
@Calvin Danke für Dein Hinweis ich probiere es auch noch mal mit "meinen kleinen" Weg für Sin(x): $\begin{eqnarray} \sin(\frac{x}{2} +\frac{x}{2} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2 \sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2} }{sin^2\frac{x}{2} +cos^2 \frac{x}{2} } \end{eqnarray}$ mal $\begin{eqnarray} \frac{1}{cos^2\frac{x}{2} } \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} \frac{2 tan \frac{x}{2} }{tan^2 \frac{x}{2}+1 } \end{eqnarray}$ eine Resubstitution führt schließlich zu: $\begin{eqnarray} \frac{2u }{u^{2}+1 } \end{eqnarray}$
05.06.2013, 21:07	xxkleenxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke auf jeden Fall für eure Hilfe. Ich versuche mich noch mal daran.
05.06.2013, 21:15	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
tue das das mit der Herleitung ist ja auch schwer am Anfang, ging mir genau so. Die Beziehungen für sin(x), cos(x) und dx gelten immer ,wenn Du solche Integrale von diesem Typ hast.Du mußt das nur "stur" einsetzen und etwas umformen.Dann wirst Du in diesem Fall einen Ausdruck erhalten, den Du "relativ" einfach integrieren kannst. ich schaue gern noch mal drüber :-)

Neue Frage »

Antworten »

Integrieren durch Substitution

Verwandte Themen