Irreduzibilität prüfen

31.05.2013, 18:02	sulp	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibilität prüfen Tag! Ich möchte prüfen ob $\begin{eqnarray} f=t^4 +t +2 \in \mathbb F_3[t] \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb F_3[t] \end{eqnarray}$ irreduzibel ist. (Ich lasse der Bequemlichkeits halber die Striche für Restklassen weg.) Da mir bei ersten Überlegungen keine Zerlegung eingefallen ist, nahm ich an, dass es irreduzibel ist. Also nehme ich an, dass das Polynom reduzibel wäre. Dann könnten folgende Zerlegungen f=gh existieren: 1) deg(g)=4, deg(h)=0 2) deg(g)=3, deg(h)=1 3) deg(g)=deg(h)=2 zu 1) Dann h gleich 1 oder 2 (0 trivialerweise nicht möglich, da f nicht 0). 1 und 2 Einheiten in $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ . Also nicht reduzibel. zu 2) Ich betrachte den Einsetzungshomomorphismus des Polynoms und setze 0, 1 und 2 ein. Dann ist dieser immer ungleich 0. Also kann ich keinen Linearfaktor vom Grad 1 abspalten und eine solche Zerlegung existiert nicht. Also nicht reduzibel. zu 3) An dieser Stelle komme ich nun nicht weiter. Ich habe es mit Koeffizientenvergleich versucht... Wie komme ich zum Ziel? Oder ist das Polynom gar reduzibel? Grüße
31.05.2013, 19:16	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, 1) und 2) sind richtig. Bei drei ist das Standardvorgehen Koeffizientenvergleich. Das liefert dir entweder eine Zerlegung oder einen Widerspruch... Alternativ: Bestimme alle irred.Polynome vom Grad 2 und schau ob eines davon dein f teilt.
01.06.2013, 16:38	sulp	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo watcher! Ersteinmal: Danke für deine Antwort! Ich habe nun mühsam einen Koeffizientenvergleich durchgeführt und erhalte, dass das Polynom irreduzibel ist. Kannst du dieses Ergebnis bestätigen? Zum Alternativvorschlag: Warum das Sinn macht, ist mir klar. Aber wie würde das funktionieren, alle irreduziblen Polynome zu bestimmen? Alle Polynome suchen, die keine Nullstellen haben? Gibt es irgendeinen Trick? Liebe Grüße
01.06.2013, 17:16	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das Polynom ist irreduzibel. Zur Alternative: Der "Trick" ist, dass es in $\begin{eqnarray} \mathbb F_3[t] \end{eqnarray}$ überhaupt nur recht wenige normierte Polynome vom Grad 2 gibt. Dort die irreduziblen (d.h. die ohne Nullstelle) rauszupicken, stellt keine große Herausforderung dar.
01.06.2013, 17:28	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Alternative - wie mir scheint, sogar die naheliegendste: Das Produkt aller irreduziblen Poynome mit einem Grad höchstens 2 über $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x^9-x \end{eqnarray}$ ... Um festzustellen, ob das vorgegebene Polynom einen solchen Teiler besitzt, muss man somit nur den ggT mit $\begin{eqnarray} x^9-x \end{eqnarray}$ bilden...
01.06.2013, 17:30	sulp	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey tmo! Okay, das macht Sinn! Ich habe allerdings noch eine Verständnisfrage zu dieser Thematik. Wenn ich ein Polynom wie zB $\begin{eqnarray} f= -2t^4 -8t^3 +4t^2 -8t +4 \in \mathbb Z[t] \end{eqnarray}$ auf Irreduziblität in $\begin{eqnarray} \mathbb Q[t] \end{eqnarray}$ untersuchen will, dann darf ich ja die -2 ausklammern, weil sie in Q eine Einheit ist und nur noch $\begin{eqnarray} t^4+4t^3 -2t^2 +4t -2 \end{eqnarray}$ betrachten. Wenn dies nun irred. in Z[t] ist, ist auch f irred. in Q[t]. 1) Brauche ich um so eine Normierung durchzuführen, dass -2 Einheit in Q ist oder reicht, dass -2 keine Einheit in Z ist? 2) Warum folgt aus der Irred. des normierten Polynoms, dass f irred. ist? Güsse
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01.06.2013, 17:40	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Entscheidend ist dass -2 Einheit in Q ist. 2) Ist das normierte Polynom irred. in Z, so ist es nach dem Lemma von Gauß irred. in Q. Und wegen 1) ist dann auch das mit -2 multiplizierte Polynom irred. in Q (aber reduzibel in Z)
01.06.2013, 17:48	sulp	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch allen! Habe nun alles verstanden.

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