Permutationen als Produkt von Paarvertauschung

31.05.2013, 18:44	Monsterin	Auf diesen Beitrag antworten »
Permutationen als Produkt von Paarvertauschung Meine Frage: Hallo Leute, ich stehe (wie immer) ein bisschen auf dem Schlauch! Eine Aufgabe lautet wie folgt: Schreiben Sie die nachfolgenden Permutationen als Produkt von Paarvertauschungen $\begin{eqnarray} 1.: \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2.: \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Ergebnis habe ich auch schon bereits (natürlich nicht selbst errechnet): $\begin{eqnarray} 1.: (13)\cdot (12) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2.: (14)\cdot (12)\cdot (13) \end{eqnarray}$ Nun meine Frage: was zur Hölle soll das sein? Was mache ich da? Meine Ideen: Öh, hab absolut keine!
31.05.2013, 20:32	sbh	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Permutationen als Produkt von Paarvertauschung Also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ lässt sich als Abbildung auffassen und bedeutet: $\begin{eqnarray} 1 \mapsto 2 \\ 2 \mapsto 3 \\ 3 \mapsto 1 \end{eqnarray}$ (Die Zahl oben wird auf die Zahl darunter abgebildet) Dein Ergebnis ist in der sog. Zykelschreibweise geschrieben bsp: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} = ( 1 & 2 & 3 ) \end{eqnarray}$ Wie kommt man darauf? Man fängt bei einer beliebigen Zahl an und wendet iterativ die Abbildung an. So z.B. $\begin{eqnarray} 1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 1 \Rightarrow ( 1 & 2 & 3) \end{eqnarray}$ Deine Aufgabe ist es zu zeigen, dass du jede solche Permutation als Verkettung von Transpositionen ( = Paarvertauschungen = Zykel der Länge 2 wie z.B. $\begin{eqnarray} ( 1 & 2) \end{eqnarray}$ )

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