Nilpotente Matrix

31.05.2013, 19:03

Fibi

Nilpotente Matrix

Meine Frage:
Hallo,

Es sie A in M(nxn;K) nilpotent.

1) Was ist die Determinante der Matrix En+A ( En=Einheitsmatrix )

2) Kann die Spur von A, tr(A), nicht-trivial sein?

Wäre nett wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen kann. Danke

Meine Ideen:
Da ja die nilpotente Matrix eine untere Dreiecksmatrix besitzt und nach der Addition mit En sind die Diagonaleinträge ja nur einsen. D.h. die Determinante von En+A ist 1. Doch es gibt ja auch nilpotente Matrizen die nicht nur untere Dreiecksmatrixform haben und da komme ich nicht weiter.

31.05.2013, 19:22

watcher

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Hallo,

Zitat:

Da ja die nilpotente Matrix eine untere Dreiecksmatrix besitzt

wenn du diese Aussage sauber aufschreibst bist du auf einer ganz heißen Spur.

Zitat:

Doch es gibt ja auch nilpotente Matrizen die nicht nur untere Dreiecksmatrixform haben und da komme ich nicht weiter.

Was meinst du damit genau?

31.05.2013, 20:35

Fibi

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Nilpotenz
Die Matrix ( 5,-3,2;15,-9,6;10,-6,4) soll auch nilpotent sein besitzt also keine untere Dreiecksgestalt.

oder besitzt eine nilpotente matrix immer eine untere bzw. obere Dreiecksgestalt und eine Diagonale mit Null Einträgen

verwirrt

31.05.2013, 20:46

watcher

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Zitat:

Die Matrix ( 5,-3,2;15,-9,6;10,-6,4) soll auch nilpotent sein besitzt also keine untere Dreiecksgestalt.

Diesen kausalen Zusammenhang sehe ich nicht. Wie folgt aus der Nilpotenz, dass keine untere Dreiecksmatrix vorhanden ist?

Wenn man davon, sehr salopp, spricht eine Matrix besäße eine ...-Gestalt mein man, dass man die Matrix auf diese Form transformieren kann.

Bei nilpotenten Matrizen ist dies folgendes:
Es gibt eine invertierbare Matrix S und eine (obere oder untere, je nach persönlicher Vorliebe) Dreiecksmatrix D, deren Diagonale nur Null-Einträge hat mit:
$\begin{eqnarray*} A=S^{-1}DS \end{eqnarray*}$

1) Mach eine Umformung der folgenden Art:
$\begin{eqnarray*} det(E+A)= det(S^{-1})\cdot det (...+D) \cdot det(S) \end{eqnarray*}$

2) Verwende $\begin{eqnarray*} tr(AB)=tr(BA) \end{eqnarray*}$

31.05.2013, 21:01

Fibi

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Mein Beweis sähe dann so aus :

A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... \\ 1 & 0 & ... \\ \sum\limits_{k}^k & 1 & 0 \end{pmatrix}

=> En+A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... \\ 1 & 1 & 0.. \\ \sum\limits_{k}^k.. & 1 & 1 \end{pmatrix}

Diese Matrix kann ich in Jordan Normalform bringen also:

\begin{pmatrix} 1-x & 0 & ... \\ 1 & 1-x & 0.. \\ \sum\limits_{k}^k .. & 1 & 1-x \end{pmatrix}

Wenn ich die Diagonale betrachte kann der Eigenwert nur 1 sein, dann folgt:

\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... \\ 1 & 0 & ... \\ \sum\limits_{k}^k.. & 1 & ..0 \end{pmatrix} da die Nilpotente um k-1 verutscht

Dann folgt für die JNF:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & ... \\ 1 & 1 & 0.. \\ 0.. & 1 & 1 \end{pmatrix}

=> tr(J)=tr(En+A)=tr(En)+tr(A)=tr(En)

Und det(En+A)=1 richtig??

31.05.2013, 21:16

watcher

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LaTeX bitte bitte hier in die entsprechende Umgebung schreiben:

code:
1:	[latex]...[/latex]

bzw.

code:
1:	[l]...[/l]

oder Text markieren und auf das Symbol f(x) oberhalb der Eingabe klicken.

Zitat:

Original von Fibi
Mein Beweis sähe dann so aus :

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... \\ 1 & 0 & ... \\ \sum\limits_{k}^k & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} En+A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... \\ 1 & 1 & 0.. \\ \sum\limits_{k}^k.. & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wieso sollte denn dein A so aussehen?
Was soll diese Pseudo-Summe da?
Du hast doch vorher schon ein Bsp. einer nilpotenten Matrix geschrieben, die nicht so aussieht.

Zitat:

Diese Matrix kann ich in Jordan Normalform bringen also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-x & 0 & ... \\ 1 & 1-x & 0.. \\ \sum\limits_{k}^k .. & 1 & 1-x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Woher weist du das das geht?
Und wozu machst du das?

Zitat:

Wenn ich die Diagonale betrachte kann der Eigenwert nur 1 sein, dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & ... \\ 1 & 0 & ... \\ \sum\limits_{k}^k.. & 1 & ..0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ da die Nilpotente um k-1 verutscht

Was soll "die Nilpotente [...] verutscht" heißen. Was bezeichnest du mit "Nilpotente"?.

Zitat:

Dann folgt für die JNF:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... \\ 1 & 1 & 0.. \\ 0.. & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=> tr(J)=tr(En+A)=tr(En)+tr(A)=tr(En)

Und det(En+A)=1 richtig??

Woher weist du tr(J)=tr(E+A)?
Und wozu rechnest du es aus? Es ist doch nach tr(A) gefragt, dass du stillschweigend als Null annimmst.

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