Konvergenzradius Cauchy Hadamard

31.05.2013, 19:10	Bamdibum	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius Cauchy Hadamard Meine Frage: Hallo Matheboard Community, ich verstehe gerade das Cauchy Hadamard Verfahren nicht wirklich. Folgendes Beispiel: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty (1+i^n)(z-1)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{R} =\limsup_{n \to \infty }\sqrt[n]{\|{1+i^n}\|} \end{eqnarray}$ Das Ergebnis lautet im Skript 1. Wie kommt man darauf? Danke schonmal, lg Meine Ideen: Zu $\begin{eqnarray} i^n \end{eqnarray}$ gibt es ja auch keinen Grenzwert.
31.05.2013, 21:34	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius Cauchy Hadamard Wie sieht denn die Folge der $\begin{eqnarray} \lvert 1+\mathrm i^n\rvert \end{eqnarray}$ aus?
31.05.2013, 22:02	Bamdibum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius Cauchy Hadamard Also für steigendes n wäre das $\begin{eqnarray} a_n = \begin{pmatrix} 2 & 4n \\ 1+i & 4n+1 \\ 0 & 4n+2 \\ 1-i & 4n+3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hmm ist das so, dass ich immer den betragsgrößten nehme, also hier 2 und mit dem weiterrechne, also $\begin{eqnarray} \limsup_{n \to \infty } \sqrt[n]{2} = 1 \end{eqnarray}$ ? :/
31.05.2013, 22:17	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius Cauchy Hadamard Was soll denn $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ sein? So, wie es da steht, ist das eine Matrix (cases-Umgebung benutzen und das ganze sauber aufschreiben). Aber ja, um den Limes superior zu bestimmen, kannst du diejenige der vier offensichtlichen konstanten Teilfolgen wählen, welche den höchsten Betrag hat.
31.05.2013, 22:36	Bamdibum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius Cauchy Hadamard ja, habs in ne matrix gepackt, dachte, das sieht übersichtlich aus =P $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ wäre halt immer mein Folgenglied. Auf jedenfall danke für deine schnelle Hilfe, sollte mir wohl nochmal den lim sup genauer ansehen ..
01.06.2013, 00:44	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius Cauchy Hadamard Der Limes Superior ist der Grenzwert der Folge aus den Suprema der Restfolge für jeden Index: $\begin{eqnarray} \limsup_{n \to \infty } a_n := \lim_{n\to\infty} s_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s_n := \sup_{k>n}a_k \end{eqnarray}$ Die Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ muss dabei keinen Grenzwert haben. Trotzdem existiert der Limes Superior, wenn die Folge der Suprema der Restfolgen beschränkt ist. Dies ist hinreichend für die Existenz, da die Folge dieser Suprema monoton fallend ist.
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