Konvergenz zweier Reihen

31.05.2013, 21:49

Freedom Wizard

Konvergenz zweier Reihen

Hallo, bräuchte etwas Unterstützung bei zwei Reihen, die auf (absolute) Konvergenz überprüft werden sollen.

1. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n}n-7}{2n^{2}-1} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n} \end{eqnarray*}$

Bei 1. habe ich es mit Leibnitz versucht, aber bin über die Aufgabe nicht ganz glücklich. Habe ich etwas offensichtliches und eleganteres übersehen?

Bei 2. kommt beim Wurzelkriterium leider 1 raus, Quotientenkriterium bringt auch nichts, da fehlt mir momentan die Idee.

Wäre über jede Hilfe dankbar.

31.05.2013, 21:55

HAL 9000

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Zu 1.) Direkt Leibniz wird nix (die Monotonie ist nicht erfüllt) - nach einer geeigneten Zerlegung als Summe zweier Reihen greift aber Leibniz zumindest bei einer der Teilreihen. Augenzwinkern

Zu 2.) Notwendige Bedingung zur Konvergenz einer Reihe ist, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Das ist hier nicht der Fall, Stichwort "Grenzwertdefinition von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ".

31.05.2013, 22:07

Freedom Wizard

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Danke für die schnelle Antwort.

zu 1.) Ja, genau. ich habe die Reihe zerlegt, dann ist die eine konvergent aufgrund vom Leibnitz und die andere ist zumindest auch eine Nullfolge, aber das heißt ja noch nichts. Aber genau da bin ich unglücklich, denn folgt daraus insgesamt, dass die ursprüngliche Reihe konvergent ist?

zu 2.) Das habe ich glatt übersehen. Kann man $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} = e \end{eqnarray*}$ einfach salopp in $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} =\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ umformen?

31.05.2013, 22:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Freedom Wizard
und die andere ist zumindest auch eine Nullfolge

Bitte sauber formulieren: Die Reihenglieder dieser Reihe bilden eine Nullfolge.

Die Formulierung "Die Reihe ist eine Nullfolge" ist einfach Quatsch.

Nennen wir doch mal die Reihe um die es geht, d.h. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^2-1} \end{eqnarray*}$ . Deren Konvergenz kannst du über das Majorantenkriterium begründen.

Zitat:

Original von Freedom Wizard
Kann man $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} = e \end{eqnarray*}$ einfach salopp in $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} =\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ umformen?

Nicht nur "salopp": Das folgt aus seriösen Grenzwertregeln, in dem Fall die der Division.

31.05.2013, 22:21

Freedom Wizard

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Okay, das sollte klappen! Reicht es zu sagen, dass die Reihe wegen dem Term (-1)^n nicht absolut konvergent sein kann?

31.05.2013, 22:30

HAL 9000

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Das klingt nach Ausrede, wenn man es nicht exakt beweisen kann. Also bitte auf soliderer Basis argumentieren:

Z.B. ist für $\begin{eqnarray*} n\geq 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{(-1)^nn-7}{2n^2-1} \right| = \left| (-1)^n\frac{n-7(-1)^n}{2n^2-1} \right| = \frac{n-7(-1)^n}{2n^2-1} \geq \frac{n-7}{2n^2-1} \end{eqnarray*}$ ,

was beim Nachweis der Divergenz der Absolutreihe über das Minorantenkriterium hilfreich sein dürfte.

31.05.2013, 23:03

Freedom Wizard

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Okay, vielen Dank. Jetzt habe ich alles. LG

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