Wieso ist jede holomorphe Abbildung winkelerhaltend?

31.05.2013, 22:06

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Wieso ist jede holomorphe Abbildung winkelerhaltend?

Meine Frage:
Ich habe mittlerweile recht häufig gehört, dass jede holomorphe Abbildung winkelerhaltend ist.
Mir ist allerdings nicht klar, wieso das so ist.

Meine Ideen:

31.05.2013, 22:40

Leopold

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Seien $\begin{eqnarray*} \gamma,\delta \end{eqnarray*}$ zwei über $\begin{eqnarray*} I = [0,1] \end{eqnarray*}$ parametrisierte differenzierbare Kurven mit gemeinsamem Anfangspunkt $\begin{eqnarray*} a = \gamma(0) = \delta(0) \end{eqnarray*}$ . Der Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zwischen den Kurven wird durch die Tangentialvektoren bestimmt:

$\begin{eqnarray*} \cos \varphi = \frac{\left \langle \dot{\gamma}(0) \, , \, \dot{\delta}(0) \right \rangle}{| \dot{\gamma}(0) | \cdot | \dot{\delta}(0) |} \end{eqnarray*}$

Das Skalarprodukt im Zähler ist durch $\begin{eqnarray*} \langle z,w \rangle = \frac{1}{2} \left( z \overline{w} + \overline{z} w \right) \end{eqnarray*}$ definiert und entspricht dem Standardskalarprodukt des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ kanonisch identifiziert. Einfach nachrechnen. Man muß $\begin{eqnarray*} \dot{\gamma}(0) \neq 0 \neq \dot{\delta}(0) \end{eqnarray*}$ voraussetzen, damit man von einem Winkel sprechen kann.

Jetzt nimm eine in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(a) \neq 0 \end{eqnarray*}$ und berechne den entsprechenden Ausdruck für die Bildkurven $\begin{eqnarray*} \tilde{\gamma} = f \circ \gamma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde{\delta} = f \circ \delta \end{eqnarray*}$ . Beachte die Kettenregel. Nach etwas Rechnung sollte dasselbe herauskommen. Es läuft auf das Kürzen von $\begin{eqnarray*} \left| f'(a) \right|^2 \end{eqnarray*}$ hinaus.

01.06.2013, 11:19

12345678

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danke!
also beim Skalarprodukt bin ich mir etwas unsicher:
$\begin{eqnarray*} \langle z,w \rangle = \langle \begin{pmatrix}Re(z)\\Im(z) \end{pmatrix},\begin{pmatrix}Re(w)\\Im(w) \end{pmatrix} \rangle = Re(z) \cdot Re(z)+Im(z) \cdot Im(w) \end{eqnarray*}$ .
Aber müsste es nicht heißen $\begin{eqnarray*} Re(z) \cdot Re(z)-Im(z) \cdot Im(w) \end{eqnarray*}$ , bzw. wieso?

Andererseits ist: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(z \overline{w}+\overline{z}w)=\frac{1}{2}((Re(z)+Im(z))(Re(w)-Im(w))+(Re(z)-Im(z))(Re(w)+Im(w))) = Re(z)Re(w)-Im(z)Im(w) \end{eqnarray*}$
Und da find ich den Vorzeichenfehler nicht.

Jetzt zum Winkel:

$\begin{eqnarray*} cos \tilde\varphi = \frac{\langle\tilde\gamma'(0),\tilde\delta'(0)\rangle}{|\tilde\gamma'(0)|\cdot |\tilde\delta'(0)|} = \frac{\langle (f\circ \gamma)'(0),(f\circ \delta)'(0)\rangle}{|(f\circ \gamma)'(0)|\cdot |(f\circ \delta)'(0)|} = \frac{\langle f'(\gamma(0))\cdot \gamma'(0), f'(\delta(0))\cdot \delta'(0)\rangle}{|f'(\gamma(0))\cdot \gamma'(0)|\cdot |f'(\delta(0))\cdot \delta'(0)|}= \frac{f'(a)^2\cdot \langle\gamma'(0),\delta'(0)\rangle}{|f'(a)|^2\cdot |\gamma'(0)|\cdot |\delta'(0)|} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt würd ich gern kürzen, aber mir fehlt ein Betrag von
$\begin{eqnarray*} f'(a)^2 \end{eqnarray*}$ im Zähler, weil eine komplexe Zahl quadriert ist ja nicht das gleiche wie ihr Betrag quadriert im Allgemeinen, oder? Oder macht's einfach keinen Unterschied hier, weil dafür, dass eine Abbildung winkelerhaltend ist, egal ist, ob der Winkel positiv oder negativ ist? Weil arccos drauf angewendet würde ja einfach den negativen Winkel dann liefern.

Und hat das auch einen intuitiven Grund, wieso holomorphe Funktionen winkelerhaltend sind?

01.06.2013, 11:35

Leopold

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Einmal hast du $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ geschrieben. Und dann sind ja $\begin{eqnarray*} z,w \end{eqnarray*}$ komplexe Zahlen. Wo bleibt in deiner Rechnung das $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ ?

Mit kanonisch $\begin{eqnarray*} z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w = u + \operatorname{i}v \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( z \overline{w} + \overline{z} w \right) = \frac{1}{2} \left( z \overline{w} + \overline{z \overline{w}} \right) = \operatorname{Re} \left( z \overline{w} \right) = xu + yv \end{eqnarray*}$

Dann beachte, daß du beim Skalarprodukt eine komplexe Zahl nicht wie eine rein reelle behandeln darfst. Vielmehr gilt, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda,z,w \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ sind:

$\begin{eqnarray*} \left \langle \lambda z \, , \, \lambda w \right \rangle = \frac{1}{2} \left( \lambda z \cdot \overline{\lambda w} + \overline{\lambda z} \cdot \lambda w \right) = \frac{1}{2} \left( \lambda \overline{\lambda} \left( z \overline{w} + \overline{z} w \right) \right) = |\lambda|^2 \cdot \left \langle z \, , \, w \right \rangle \end{eqnarray*}$

01.06.2013, 13:08

12345678

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ja stimmt, das muss w heißen.
ah, ok!

das heißt, wegen $\begin{eqnarray*} \left \langle \lambda z \, , \, \lambda w \right \rangle = \frac{1}{2} \left( \lambda z \cdot \overline{\lambda w} + \overline{\lambda z} \cdot \lambda w \right) = \frac{1}{2} \left( \lambda \overline{\lambda} \left( z \overline{w} + \overline{z} w \right) \right) = |\lambda|^2 \cdot \left \langle z \, , \, w \right \rangle \end{eqnarray*}$

erhalte ich in der letzten Gleichheit die gewünschten Betragsstriche, und somit erhalte ich $\begin{eqnarray*} cos\varphi = cos\tilde \varphi \end{eqnarray*}$ ?

Da war mein Fehler glaube ich, dass ich dachte, dass Skalarprodukte bilinear sind, dabei ist dieses Skalarprodukut ja nur sesquilinear im Komplexen.

01.06.2013, 13:45

Leopold

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Du mußt $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ als zweidimensionalen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum auffassen. Das hier definierte Skalarprodukt ist das gewöhnliche Skalarprodukt des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , nur komplex geschrieben. Es handelt sich also nicht um eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform.

01.06.2013, 15:10

12345678

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ok, danke!
das heißt so als Beispiel ist dann
$\begin{eqnarray*} \langle i(3+4i),i(2+2i)\rangle = |i|²\langle(3+4i),(2+2i)\rangle \end{eqnarray*}$ , denn
$\begin{eqnarray*} \langle i(3+4i),i(2+2i)\rangle = \langle3i-4,2i-2\rangle = \langle\begin{pmatrix}-4\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}-2\\2 \end{pmatrix} \rangle = 8+6 = 14 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} |i|²\langle(3+4i),(2+2i)\rangle = 1\cdot(6+8) = 14. \end{eqnarray*}$
Also das beweist natürlich nichts, und du hast den allgemeinen Fall ja unten schon beschrieben.
Aber hab ich das richtig verstanden, dass du das vom rechnen her so meinst?
Und bilinear ist das ja jetzt auch nicht mehr, oder doch? Ich glaub da hängts bei mir noch ein wenig, weil wenn's bilinear wäre, dürfte ich dann nicht nach Definition von Bilinearität in dem Beispiel die beiden i rausziehen (ohne Betrag)?

01.06.2013, 15:47

Che Netzer

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Zitat:

Original von 12345678
Und hat das auch einen intuitiven Grund, wieso holomorphe Funktionen winkelerhaltend sind?

Naja, eher nicht.
Wenn aber eine Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ gegeben ist, so ist
$\begin{eqnarray*} (f\circ\gamma)'=f'(\gamma)\cdot\gamma' \end{eqnarray*}$ .
Und $\begin{eqnarray*} f'(\gamma)=r\mathrm e^{i\varphi}\neq0 \end{eqnarray*}$ beschreibt die Streckung um $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und Rotation um $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Da dies unabhängig von $\begin{eqnarray*} \gamma' \end{eqnarray*}$ geschieht, sind holomorphe Funktionen mit nichtverschwindender Ableitung winkelerhaltend.
Das war auch schon der Beweis.

Die Anschauung wäre also folgende:
Dadurch, dass die Ableitung überhaupt existiert, streckt und rotiert eine holomorphe Funktion die Tangenten zweier Kurven gleichermaßen, was deren Schnittwinkel nicht ändert.

01.06.2013, 17:56

12345678

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Ok, versteh ich das richtig:

Der Winkel zwischen zwei Kurven in einem Schnittpunkt hängt lediglich von der Ableitung der beiden Kurven in diesem Punkt ab.

Wenn ich nun eine Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ habe, dann ist für Schnitte mit anderen Kurven im Punkt
$\begin{eqnarray*} z_0=\gamma(t_0) \end{eqnarray*}$ lediglich $\begin{eqnarray*} \gamma' (t_0) \end{eqnarray*}$ relevant und entsprechend für die andere Kurve.
Nun ist aber $\begin{eqnarray*} (f\circ \gamma)' = f'(\gamma) \cdot \gamma'. \end{eqnarray*}$
Somit wird die Ableitung in $\begin{eqnarray*} z_0=\gamma(t_0) \end{eqnarray*}$ nur gestreckt oder gedreht, da $\begin{eqnarray*} f'(\gamma(t_0)) \end{eqnarray*}$ eine komplexe Zahl ist (unabhängig von $\begin{eqnarray*} \gamma' \end{eqnarray*}$ ) aber genauso eben die Ableitung von der anderen Kurve, somit ändert sich der Winkel zwischen den beiden Kurven auch im Bild nicht, denn es ist $\begin{eqnarray*} f'(\gamma(t_0))=f'(\delta(\tilde t_0)) \end{eqnarray*}$ , für eine andere Kurve $\begin{eqnarray*} \delta \ mit \ \delta(\tilde t_0)=x_0 \end{eqnarray*}$ , sonst wäre es kein Schnittpunkt.

01.06.2013, 18:41

Che Netzer

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Ja, das hört sich gut an.
Nur das $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ hätte ein $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ sein sollen.

01.06.2013, 18:44

12345678

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danke!

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