Komplexe Zahlen, Gaußsche Zahlenebene

01.06.2013, 12:00

Komplexizi

Komplexe Zahlen, Gaußsche Zahlenebene

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe, die ganz sicher sehr einfach ist.

Habe aber noch nie mit komplexen Zahlen gearbeitet, daher quasi eine Einstiegshürde.

$\begin{eqnarray*} | z + 3i | < 4 \end{eqnarray*}$ soll in der Gaußschen Zahlenebene für alle z dargestellt werden, die diese Ungleichung erfüllen.

So, nun weiß ich (hoffentlich korrekt), dass:

$\begin{eqnarray*} z = a + bi \end{eqnarray*}$ d.h.:
$\begin{eqnarray*} |z + 3i| = |a + bi + 3i| = |a + i(3+b)| < 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a + i(3+b)| = \sqrt{a^2+(3+b)^2} < 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2 + (3+b)^2 < 16 \end{eqnarray*}$

Wie lässt sich das dann verstehen und in der Gaußschen Zahlenebene festhalten?

01.06.2013, 12:07

zyko

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RE: Komplexe Zahlen, Gaußsche Zahlenebene
Wenn du in deiner letzten Formel a durch x und b durch y ersetzt, dann sieht diese Formel sicherlich viel bekannter aus. Denke dir dazu ein x-y-Koordinatensystem.

01.06.2013, 12:21

Komplexizi

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Hi,

ööhm.. irgendwie verstehe ich das leider nicht.

Vor allem, wie man das letztlich wirklich darstellen soll...

Also wenn ich die letzte Ungleichung betrachte, dann ist höchstens

$\begin{eqnarray*} a^2 < 16 \end{eqnarray*}$ und zugleich $\begin{eqnarray*} (3+b)^2 \e 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} b = -3 \end{eqnarray*}$

d.h. a = 4 oder -4.

andererseits ist höchstens

$\begin{eqnarray*} (b+3)^2 < 16 => b < 1 \end{eqnarray*}$ und a = 0.

Und wie würde ich das nun zeichnen?

01.06.2013, 12:31

zyko

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Wie sieht eine Kreisgleichung aus, dessen Mittelpunkt nicht im Nullpunkt liegt?

01.06.2013, 13:23

Komplexizi

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Zitat:

Original von zyko
Wie sieht eine Kreisgleichung aus, dessen Mittelpunkt nicht im Nullpunkt liegt?

Ah, natürlich, ich verstehe!

Diese sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} (x-x_m)^2 + (y-y_m)^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

in meinem Fall dann:

$\begin{eqnarray*} (a-0)^2 + (b + 3)^2 < (4)^4 \end{eqnarray*}$

D.h. der Mittelpunkt des Kreises liegt bei
Re = 0
Und Im = -3, denn Im ist (b+3) = (b - (-3))

Und für den Radius: r < 4.

Stimmt das dann?

02.06.2013, 19:03

zyko

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Ja das stimmt.
Damit kannst du in einem x-y-Koordinatensystem, Verzeihung a-b-Koordinatensystem
einen Kreis um den Punkt 0-3i mit dem Radius 4 zeichnen.
Welche Punkte erfüllen davon deine Ungleichung?
Die inneren Punkte, die Punkte auf dem Kreisrand oder die Punkte außerhalb?

03.06.2013, 10:12

Komplexizi

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Zitat:

Original von zyko
Ja das stimmt.
Damit kannst du in einem x-y-Koordinatensystem, Verzeihung a-b-Koordinatensystem
einen Kreis um den Punkt 0-3i mit dem Radius 4 zeichnen.
Welche Punkte erfüllen davon deine Ungleichung?
Die inneren Punkte, die Punkte auf dem Kreisrand oder die Punkte außerhalb?

Hallo,

ich hoffe um die inneren Punkte, da es um all jene Werte geht, die vom Mittelpunkt des Kreises aus weniger als (Radius) 4 entfernt sind?

(Verzeihung für die wenig mathematische Schreibweise, im Moment geht es aber mehr darum, dass ich das Ganze erst einmal verstehe, und da tue ich mir so leichter)

Ich habe noch eine ähnliche Aufgabe wie oben, die ich gleich zu lösen hoffe:

$\begin{eqnarray*} 1 < |z+ 1 - 2i| < 2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das analog zur obigen Aufgabe durchführe komme ich zu

$\begin{eqnarray*} |a+ bi + 1 -2i| = |a+1+i(b-2)| = \sqrt{(a+1)^2 + (b-2)^2} < 2 \end{eqnarray*}$
d.h.
$\begin{eqnarray*} (a+1)^2 + (b-2)^2 < 4 \end{eqnarray*}$

mit Kreismittelpunkt (-1, 2i) und Radius 2 sind schonmal alle gesuchten Werte für z kleiner als 2.

mit Kreismittelpunkt (-1,2i) und Radius 1 dann alle Werte für z größer als 1.

Dazwischen die gesuchten Werte.

?

03.06.2013, 12:05

zyko

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Sieht gut aus!

Zitat:

dann alle Werte für z größer als 1

Alle Werte in dem Kreisring mit dem Innenradius=1 und dem Außenradius=2.

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