Beweis Summe irrationale Zahl

01.06.2013, 14:07

Zahlenbew

Beweis Summe irrationale Zahl

Seien $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{m} \end{eqnarray*}$ irrational. Dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{m} + \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ auch irrational.

Wie beweist man sowas?

Ich wollte zuerst einen Widerspruchsbeweis machen, indem ich annehme dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{m} + \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ nicht irrational ist. Dadurch, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ aber nicht angegeben ist komme ich da nicht voran..

01.06.2013, 14:14

tmo

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Nehme doch einfach mal an, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{m}+\sqrt{n} =: a \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt. Beachte $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} = a-\sqrt{m} \end{eqnarray*}$ . Nun quadriere und interpretiere die Gleichung geeignet.

Alternativ könnte man auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{m}) \subset \mathbb Q(\sqrt{m}+\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ zeigen.

02.06.2013, 10:33

Zahlenbew

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Zitat:

Original von tmo
Nehme doch einfach mal an, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{m}+\sqrt{n} =: a \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt. Beachte $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} = a-\sqrt{m} \end{eqnarray*}$ . Nun quadriere und interpretiere die Gleichung geeignet.

Alternativ könnte man auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{m}) \subset \mathbb Q(\sqrt{m}+\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ zeigen.

Also $\begin{eqnarray*} n = a^2 - 2*a*\sqrt{m} + m \end{eqnarray*}$
Dann müsste also $\begin{eqnarray*} a^2 - a*a*\sqrt{m} \end{eqnarray*}$ ebenfalls eine natürliche Zahl sein. Und das geht nicht.. ?

02.06.2013, 11:03

Mystic

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Zitat:

Original von Zahlenbew
[quote]Original von tmo
Dann müsste also $\begin{eqnarray*} a^2 - a*a*\sqrt{m} \end{eqnarray*}$ ebenfalls eine natürliche Zahl sein. Und das geht nicht.. ?

Die schockierende Wahrheit ist: $\begin{eqnarray*} a^2 - 2*a*\sqrt{m} \end{eqnarray*}$ (das meintest du doch, oder?) kann unter den gegebenen Voraussetzungen nicht einmal rational sein, geschweige denn eine natürliche Zahl... Big Laugh

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