nilpotente Matrix , char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren Beweisgang

01.06.2013, 15:34	tobs	Auf diesen Beitrag antworten »
nilpotente Matrix , char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren Beweisgang Meine Frage: Ich möchte im Grunde nur wissen ob folgender Beweisgang schlüssig ist oder ob ich etwas falsch gefolgert habe.Ich möchte also nur zeigen, dass das char.Polynom einer nilpotenten Matrix in Linearfaktoren zerfällt. Meine Ideen: Zum Beweis: Sei A nilpotente Matrix, dann gilt A^k = 0 für ein k aus den natürlichen Zahlen. Dann ist das Polynom x^k im Annihilator von A und somit muss das Minimalpolynom ein Teiler von x^k sein, also x^i für ein i <= k. Weil das Minimalpolynom aber nun das char. Polynom teilt, wird das char. Polynom von x^i geteilt und muss somit in Linearfaktoren zerfallen (ist diese Schlussfolgerung korrekt?). LG
01.06.2013, 15:38	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass $\begin{eqnarray} x^i \end{eqnarray}$ das char. Polynom teilt, ist völlig richtig. Das reicht aber noch nicht dafür, dass das char. Polynom zerfällt. Man sollte hier eher zeigen, dass das char. Polynom gerade $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ ist, wobei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ die Dimension des Vektorraums ist.
01.06.2013, 16:14	tobs	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann ich das denn zeigen? Wir wissen über eine nilpotente Matrix A bisher nur, dass A^k = 0 für ein k aus den natürlichen Zahlen und somit auch für alle i>=k.
01.06.2013, 16:20	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ Eigenwert von A, so ist $\begin{eqnarray} \lambda^k \end{eqnarray}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray} A^k \end{eqnarray}$ . Was sagt dir das über $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ? Und was folgt für das char. Polynom?
01.06.2013, 16:32	tobs	Auf diesen Beitrag antworten »
Die einzige Eigenwert von A ist 0, d.h. das char.Polynom besitzt nur die Nullstelle 0. Aber deshalb muss es nicht in Linearfaktoren zerfallen. Betrachte man das Polynom x(x²+1) über den reellen Zahlen. Dies besitzt nur die Nullstelle 0, zerfällt aber nicht in Linearfaktoren.
01.06.2013, 16:35	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber du kannst doch einfach in den algebraischen Abschluss gehen. Dort gibt es auf jeden Fall $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Eigenwerte (mit Vielfachheit gezählt) und die sind nach obiger Argumentation alle 0. Also muss das char. Polynom $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ sein.
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01.06.2013, 16:37	tobs	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden!
01.06.2013, 16:46	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ hätte man auch ad hoc per Induktion über die Dimension vorgehen können: Ist $\begin{eqnarray} U \subset V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ -invariant, so betrachten wir die beiden Endomorphismen $\begin{eqnarray} f\|_{U}: U \to U \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} f_{V/U}: V/U \to V/U, [v] \mapsto [f(v)] \end{eqnarray}$ Es gilt dann für die char. Polynome: $\begin{eqnarray} \chi_f = \chi_{f\|_{U}} \cdot \chi_{f_{V/U}} \end{eqnarray}$ . Klar ist: Wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nilpotent ist, so auch die beiden betrachteten Endomorphismen. Das einzige was wir also brauchen ist ein invarianter Unterraum $\begin{eqnarray} 0 \subsetneq U \subsetneq V \end{eqnarray}$ . Dann rollt die Induktionsmaschine los. Und $\begin{eqnarray} U = Kern(f) \end{eqnarray}$ tut es

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