Herleitung der Dichte der Chi-Quadrat Vert. mit 2 Freiheitsgraden

01.06.2013, 17:38	Müh01	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Dichte der Chi-Quadrat Vert. mit 2 Freiheitsgraden Hallo! $\begin{eqnarray} Y_{i} (i=1,...,n) \end{eqnarray}$ unabhänigige ZV, wobei $\begin{eqnarray} Y:=X^2 \end{eqnarray}$ (X standard-normalverteilte ZV). Zeige, dass Dichte $\begin{eqnarray} Y_{1}+Y_{2} \end{eqnarray}$ die Form $\begin{eqnarray} f(x)=ce^{\frac{-x}{2}}1_{x>0} \end{eqnarray}$ hat. Habe hier Faltung verwendet: $\begin{eqnarray} f_{Y_{1}+Y_{2}}(x)= \int_{-\infty}^{\infty} \! f_{Y_{1}}(x-y_{1})f_{Y_{2}}(y_{1}) \, d y_{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\Pi}} e^{-\frac{(x-y_{1})}{2}} \frac{1}{\sqrt{x-y_{1}}} \frac{1}{\sqrt{2\Pi}} e^{-\frac{(y_{1})}{2}} \frac{1}{\sqrt{y_{1}}}\, d y_{1} = \frac{1}{2 \Pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{\sqrt{x-y_{1}}\sqrt{y_{1}}} \, d y_{1} \end{eqnarray}$ jetzt weiß ich leider nicht wie ich den Term umformen soll, damit ich auf die gewünschte Form komme. Das Integral wird mir verschwinden weil $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{1}{\sqrt{2\Pi}} e^{-\frac{y_{1}^2}{2}}\, dy_{1} = 1 \end{eqnarray}$ bräuchte einen Tipp wie ich da am besten umforme! Danke
01.06.2013, 18:57	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es steht in der Aufgabenstellung, dass x >0 sein soll. Somit ergibt sich für die Grenzen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2 \Pi} \int_{0}^{x} e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{\sqrt{x-y_{1}}\sqrt{y_{1}}} \, d y_{1} \end{eqnarray}$ Mit der Substitution: $\begin{eqnarray} y_1=x(1-u^2) \end{eqnarray}$ kann man dann auch integrieren. Grüße.
01.06.2013, 20:22	Müh01	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt danke für den Hinweis!
01.06.2013, 20:36	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne.

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