Grenzwert sin(2x)/sin(x)

01.06.2013, 18:44

eintopf

Grenzwert sin(2x)/sin(x)

Moin moin,
ich soll den Grenzwert folgender Funktion bestimmen: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) }{\sin(x) } \end{eqnarray*}$
Da sin(0)=0 ist, ist für mich die Sache eigentlich ganz klar. Durch 0 soll man ja nicht teilen. Aber mein Lösungsbuch sagt mir, dass die Lösung 2 sein soll. Wie soll das gehen, wenn die Funktion an der Stelle 0 undefiniert ist?

01.06.2013, 18:48

Bartolomeo

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Hier kann man den Grenzwert mit der Regel von L'Hospital berechnen.

01.06.2013, 18:49

trixt@tor

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Das ist ja gerade der "Witz" an der Sache! Augenzwinkern

DIe Funktion ist zwar für x=0 nicht definiert, aber deshalb kann man trotzdem den Grenzwert bestimmen. Als erste Idee würde ich mal de l'Hospital versuchen. Ob das zum Ziel führt kann ich dir aber gerade auch nicht genau sagen.

01.06.2013, 18:51

10001000Nick1

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Die Funktion ist zwar bei x=0 nicht definiert, aber der Grenzwert für x->0 sagt ja: x nähert sich immer weiter an 0 an. Deswegen kann es trotzdem einen Grenwert geben, obwohl die Funktion bei x=0 nicht definiert ist.

Um diesen Grenwert zu berechnen, kannst du verwenden, dass $\begin{eqnarray*} \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$ ist.

Regel von L'Hospital geht auch.

01.06.2013, 19:25

eintopf

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Manchmal glaub ich, diese Rechenregeln und Gesetze werden nur erfunden, damit man manche Probleme lösen kann. Obs dann logisch ist, scheint wohl nicht zu interessieren. unglücklich

Ich kanns zwar nachvollziehen. Wäre aber alleine nie auf diese Lösung gekommen und so richtig Sinn ergibt das für mich nicht.
Wie komme ich z.B. bei dieser Aufgabe $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} x \frac{(x-2)(3*x+1)}{4*x-8} \end{eqnarray*}$ auf die Lösung 7/4?
Vor allem, wenn ich mir den Graphen angucke, frag ich mich, ob die Mathematik wirklich so ungenau sein muss? Für mich sieht das eher nach einer sehr groben Regression aus. Immerhin hat der Graph auf der linken Seite schon deutlich vor x=2 sein Maximum und das ist deutlich unter 7/4.

01.06.2013, 19:35

trixt@tor

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Klammer mal im Nenner 4 aus. Dann solltest dus eigentlich schon sehen! Augenzwinkern

01.06.2013, 19:41

Calvin

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Und deine Zeichnung ist falsch. Du hast eine andere Funktion gezeichnet. In deiner Funktion steht (x-2) im Zähler, in der Zeichnung (x-1)

So sieht es richtig aus:

02.06.2013, 16:12

eintopf

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Ok, 4 ausklammern und dann hats bei mir auch geklappt.
Bei dem Graphen habe ich mich tatsächlich vertan traurig

Ich hätte da noch zwei Aufgaben, bei denen ich nicht weiterkomme:
a) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{5n^3+10n^2+4}{\sqrt[3]{n^{10}}+2 } \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(2n+3)^2(3n+4)}{6n^2+5n^2+4n+3} \end{eqnarray*}$
Bei a) weiß ich nicht was ich machen könnte, um das ganze zu vereinfachen.
Bei b) hätte ich als erste Idee das Ausklammern, nachdem ich die Klammern aufgelöst habe. Da ich zuversichtlich bin, dass es nicht klappt, wäre es nett, wenn mir jemand einen Lösungshinweis geben könnnte. Bitte nicht die komplette Lösung, die will ich irgendwann mal selbst rausbekommen.

Bei b) habe ich mal abgeleitet und bin dann bei 72/36=2 rausgekommen. Kann das Ergebnis stimmen?

02.06.2013, 16:49

grosserloewe

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zu a)

Klammere n^3 aus

zu b)

nach Ausmultiplizieren und Ausklammern von n^3 erhält man 2

:-)

PS denke bei b muß es 6 n^3 heissen?

02.06.2013, 16:50

Rabbi

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Hey !

a) $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n^{10}}+2=n^{10/3}+2=n^3\left (n^{1/3}+\frac{2}{n^3}\right ) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} 6\,n^2 + 5\,n^2=11\,n^2 \quad ? \end{eqnarray*}$ Erstaunt1

02.06.2013, 21:31

eintopf

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Jap, da liegt ihr richtig. Das muss 6n^3 heißen. Gut, dann bin ich ja schonmal beruhigt, dass ich da das richtige Ergebnis rausbekommen habe.
Bei Aufgabe a) habe ich mal n^3 ausgeklammert nun habe ich raus $\begin{eqnarray*} \frac{5+\frac{10}{n}+ \frac{4}{n^3} }{n^{1/3}+\frac{2}{n^3} } \end{eqnarray*}$ . Ich habe aber absolut keine Ahnung, wie ich da weitermachen soll. Ich probiere mal ein bissl rum, vllt ergibt sich ja was.

02.06.2013, 22:52

Rabbi

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Hey !
$\begin{eqnarray*} \lim(a+b)=\lim a + \lim b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5+\frac{10}{n}+ \frac{4}{n^3} }{n^{1/3}+\frac{2}{n^3} }=\frac{5}{n^{1/3}+\frac{2}{n^3}}+\frac{\frac{10}{n}}{n^{1/3}+\frac{2}{n^3}}+\frac{\frac{4}{n^3}}{n^{1/3}+\frac{2}{n^3}}=\cdots \end{eqnarray*}$

02.06.2013, 23:23

grosserloewe

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zu a)

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{ 5+ \frac{10}{n} +\frac{4}{n^{3} } }{\frac{n^{\frac{10}{3} } }{n^{3} }+\frac{2}{n^3} } \end{eqnarray*}$

da die restlichen Glieder 0 sind , folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{5}{n^{\frac{1}{3} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

03.06.2013, 14:39

eintopf

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@grosserloewe: Verstehe ich das richtig, dass ich den Ausdruck solange vereinfachen oder umstellen soll, bis ich eine eindeutige Tenenz von n sehen kann?
Ist mir zumindestens sofort klar geworden, was du gemient hast, auch wenn ich von alleine nicht drauf gekommen bin.

Zitat:

Original von Rabbi
Hey !
$\begin{eqnarray*} \lim(a+b)=\lim a + \lim b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5+\frac{10}{n}+ \frac{4}{n^3} }{n^{1/3}+\frac{2}{n^3} }=\frac{5}{n^{1/3}+\frac{2}{n^3}}+\frac{\frac{10}{n}}{n^{1/3}+\frac{2}{n^3}}+\frac{\frac{4}{n^3}}{n^{1/3}+\frac{2}{n^3}}=\cdots \end{eqnarray*}$

Die Umformung verstehe ich, aber was soll ich weiter damit machen? Verfolgst du ein ähnliches Ziel wie grosserloewe oder hättest du noch eine andere Lösungsvariante im Angebot?

03.06.2013, 14:43

grosserloewe

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ja , denn solche Ausdrücke , wie

1/n oder 1/n^2 gehen doch gegen 0. Damit vereinfacht sich das Ganze doch.

@ eintopf

bei Dir ist in der Rechnung den 10 abhanden gekommen von n^ (10/3)

03.06.2013, 22:49

mYthos

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RE: Grenzwert sin(2x)/sin(x)
Nochmals dazu:

Zitat:

Original von eintopf
...
ich soll den Grenzwert folgender Funktion bestimmen: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) }{\sin(x) } \end{eqnarray*}$
...

Dazu braucht's keinen L'Hospital, einfach umformen und kürzen!

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin 2x}{\sin x} = \frac { 2 \sin x \cos x}{\sin x} = 2 \cos x \end{eqnarray*}$

Und der Grenzwert des Letzteren (für x --> 0) ist $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 1 = 2 \end{eqnarray*}$

mY+

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