Rotationsvolumen einer Vase

01.06.2013, 23:13

Adramelec

Rotationsvolumen einer Vase

Hi!

Folgende Aufgabenstellung:
Eine Vase entsteht durch Rotation der nachfolgende noberhalb der y Achse liegenden Kurve um die y-Achse. Die äußere Form einer Vase ist gegeb durch:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{36}-\frac{9y^{2}}{25})=1 \end{eqnarray*}$ , der innere Teil ist gegeben durch: $\begin{eqnarray*} y=\frac{x^{2}}{24}+2 \end{eqnarray*}$ .

Die Höhe der Vase ist 10cm.

Welche Masse hat die Vase wenn sie aus Ton ist? (p=1,5g/cm^3)

Mein Ansatz:

Wenn man sich beide Funktionen ansieht, ist klar, ich muss die innere Funktion von der äußeren abziehen.

Habe als erstmal meine Formlen umgeformt auf:
Äußere:
$\begin{eqnarray*} x^{2} = 36+\frac{324y^{2}}{25} \end{eqnarray*}$
Innere:
$\begin{eqnarray*} x^{2} = 24y-48 \end{eqnarray*}$

Dann beide Formeln integriert und erhalte als Ergbenis:
3960pi - Das wäre ja mal mein "Vasenmaterial"...

In den Lösungen die ihc habe ist allerdings : 3924pi zu finden.

Ein Fehler in den Lösungen oder bei mir?

Danke!

02.06.2013, 00:18

opi

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Ich erhalte ebenfalls $\begin{eqnarray*} V=3960 \pi cm^3 \end{eqnarray*}$

Allerdings ist die Vase dermaßen hässlich und unpraktisch, daß ich an der Angabe (oder dem Geschmack des Aufgabenstellers) zweifele. Augenzwinkern

02.06.2013, 00:27

Adramelec

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Nein! Die Angabe hab ich richtig abgeschrieben :-D

Aber danke für die Bestätigung, tut mir leid das es leider so oft nur eine "kontrolle" meines Ergebnisses ist.. smile

02.06.2013, 00:36

opi

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Kein Problem, gern geschehen!

02.06.2013, 11:13

Gualtiero

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Hallo, ich habe hier mitgerechnet und bekomme ein Ergebnis, das mit keinem angegebenen übereinstimmt, nämlich $\begin{eqnarray*} 3912 \pi cm^3 \end{eqnarray*}$ .

Meine Erklärung dazu: Die zweite Funktion für den "inneren Teil", also den Leerraum der Vase oder Schale, ist ja im Intervall von 2 bis 10 zu integrieren.
Wenn man die untere Intervallgrenze mit 0 annimmt, ergibt sich für den Hohlraum $\begin{eqnarray*} 720\pi cm^3 \end{eqnarray*}$ , und man bekommt für das endgültige Volumen Eure $\begin{eqnarray*} 3960\pi cm^3 \end{eqnarray*}$ - dann hätte man aber den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse ignoriert, bzw. die Dicke des Schalenbodens wäre an einer Stelle Null.

Grobe Skizze dazu:

[attach]30371[/attach]

Oder übersehe ich da etwas? verwirrt