Nachfragefunktion über Preiselastizität bestimmen

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02.06.2013, 02:07	Spaßfaktor	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachfragefunktion über Preiselastizität bestimmen Meine Frage: Bei folgender Aufgabe brauche ich Hilfe: Die Preiselastizität der Nachfrage nach einer Ware betrage $\begin{eqnarray} E_N(p)= -(3p)/(3p+a) \end{eqnarray}$ . Ferner sei bekannt, dass bei einem Preis von p=10 die Nachfrage 1000 beträgt und die relative Verminderung der Nachfrage halb so groß ist wie die relative Erhöhung des Preises. Ermitteln Sie die Nachfragefunktion! Hinweis: man kann ln N durch Integration von (N'(p))/(N(p)) ermitteln. Meine Ideen: Zuerst habe ich alle Inforationen, die gegeben sind, in Formeln zusammengefasst. $\begin{eqnarray} E_N(p)= -(3p)/(3p+a) \end{eqnarray}$ N(10)=1000 E(10)= -1/2 Unter Anwendung des Hinweises habe ich dann folgendes gerechnet: ln 1000= -3*ln(30+a) --> a= -29,9 Ist das soweit richtig? Weiter komme ich leider nicht...
02.06.2013, 06:57	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wie du sehen wirst, habe ich eine andere Idee : Ich habe auch erstmal den Hinweis berücksichtigt. $\begin{eqnarray} ln(N(p))=\int \! \frac{N'(p)}{N(p)} \, dp \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} E_N(p)=-N'(p)\cdot \frac{p}{N(p)}=-\frac{(3p)}{(3p+a)} \end{eqnarray}$ , kann man daraus schließen, dass $\begin{eqnarray} \frac{N'(p)}{N(p)}=\frac{3}{(3p+a)} \end{eqnarray}$ ist. Somit ist dann $\begin{eqnarray} ln(N(p))=\int \! \frac{3}{(3p+a)} \, dp \end{eqnarray}$ Auch auf der rechten Seite kommt auch ein LN-Ausdruck heraus, aber mit der Integrationskonstanten c (Wichtig!). Dann kann man beide Seiten als Exponenten der Basis e schreiben. Danach vereinfachen. Die Konstante $\begin{eqnarray} e^c=C \end{eqnarray}$ wird dann multiplikativ mit dem restlichen Term verbunden. Dabei die Klammer nicht vergessen. Ebenfalls wichtig. Dann hat man N(p). Man muss nur noch die Werte für a und C bestimmen. Jetzt die Bedingungen verwenden. Die hast du schon mal richtig aufgestellt. $\begin{eqnarray} N(p=10)=1000 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E_N(p=10)=-1/2 \end{eqnarray}$ Es entstehen zwei Gleichungen mit den Variablen a und C. Dieses kleine Gleichungssystem kann man dann lösen. Schau einfach mal wie weit du kommst. Grüße.
02.06.2013, 11:18	Spaßfaktor	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, danke. Ich habe die Konstante c beim Integrieren vergessen. Jetzt bekomme ich heraus: $\begin{eqnarray} N(p)= (3pa)^{-9} + C \end{eqnarray*}$ . Aber an der Stelle komme ich nicht weiter. Wie soll ich das weiter vereinfachen? Und an welcher Stelle verbinde ich das C multiplikativ mit dem Rest? Hier hakt es jetzt.
02.06.2013, 15:51	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Du warst beim Integrieren eigentlich schon weiter. $\begin{eqnarray} ln(N(p))=\int \! \frac{3}{(3p+a)} \, dp \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(N(p))=ln(3p+a)+c \end{eqnarray}$ Basis e $\begin{eqnarray} e^{ln(N(p))}=e^{ln(3p+a)+c} \end{eqnarray}$ vereinfachen $\begin{eqnarray} N(p)=(3p+a) \cdot e^c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N(p)=(3p+a) \cdot C \end{eqnarray}$ Jetzt die beiden Bedingungen verwenden. Natürlich musst du noch vorher die Elastizität von N(p) allgemein darstellen.
02.06.2013, 17:15	Spaßfaktor	Auf diesen Beitrag antworten »
aber ist nicht $\begin{eqnarray} \int \! \frac{3}{3p+a} \, dp = 9ln (3p+a)+c \end{eqnarray}$ ?
02.06.2013, 18:32	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Ist es leider nicht.
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02.06.2013, 19:39	Spaßfaktor	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, natürlich. ich habe gerade im Kopf zum Teil differenziert und nicht integriert... Ok, davon ausgehend, müsste es dann folgendermaßen weiergehen: Es gilt: $\begin{eqnarray} N(p)= (3p+a)C<br /> N(p=10)=(310+a)C=1000<br /> <br /> C=\frac{1000}{30+a} <br /> <br /> E_{N}(p)=\frac{3Cp}{(3p+a)C} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E_{N}(p=10)=\frac{3C10}{(310+a)C}=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Ist das jetzt soweit richtig? Ich bin mir nicht sicher bei der Elastizität. Wenn das so richtig ist, müsste a=30 und C gleich 16/2/3 sein.
02.06.2013, 20:31	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe, wie du im deinem 1. Post, die Elastizität mit -1/2 angegeben. Dann kommt für a=-90 und für $\begin{eqnarray} c=-16 \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ heraus. $\begin{eqnarray} E_{N}(p=10)=\frac{3C10}{(310+a)C}=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Somit habe ich nur das Vorzeichen auf der rechten Seite anders. N(p) zu bestimmen ist jetzt nicht mehr schwer.
02.06.2013, 21:12	Spaßfaktor	Auf diesen Beitrag antworten »
das Minus ist richtig und ich komme so zum gleichen Ergebnis: a=-90 c=-16/2/3 Demnach ist die nachfragefunktion: $\begin{eqnarray} N(p)=(3p-90)-16\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ Vielen, vielen Dank für die Hilfe!
02.06.2013, 21:22	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man ausmultipliziert, steht da: $\begin{eqnarray} N(p)=1500-50p \end{eqnarray}$ Sieht gleich vertrauter aus. Gerne. Freut mich, dass es geklappt hat.

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