Zusammenhang zwischen tan(x/2) und sin(x) bzw. cos(x)

02.06.2013, 11:50

DLG

Zusammenhang zwischen tan(x/2) und sin(x) bzw. cos(x)

Hi liebe Community,

Ich habe hier eine Aufgabe, für die ich schon den Lösungsweg habe, den ich aber nicht ganz verstehe.

$\begin{eqnarray*} A=\int_a^b \! 1/(sin(x)+cos(x)+1) \, dx \end{eqnarray*}$

Schritt 1:

Substitution $\begin{eqnarray*} u=tan(x/2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=2arctan(u) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow dx=(2/(1+u^2))du \end{eqnarray*}$

Alles klar und völlig logisch soweit.
Der folgende Schritt macht mir allerdings Schwierigkeiten.

Schritt 2:

$\begin{eqnarray*} sin(x)=2u/(1+u^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(x)=(1-u^2)/(1+u^2) \end{eqnarray*}$

Die dann folgenden Schritte sind mir dann alle wieder klar. Man setzt ein, rechnet aus und erhält $\begin{eqnarray*} A=\int_c^d \! 1/(u+1) \, du \end{eqnarray*}$

Aber wie man auf die Ergebnisse von Schritt 2 kommt, ist mir unklar. Ich kenne die Zusammenhänge zwischen arctan und arcsin bzw. arccos und ich gehe davon aus, dass diese benötigt werden, hatte aber noch keine Idee, wie ich mit dem Faktor 2 vor dem arctan umgehen soll.

Viele Grüße
DGL

02.06.2013, 12:01

grosserloewe

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RE: Zusammenhang zwischen tan(x/2) und sin(x) bzw. cos(x)
Wink

Schauh mal in diesen Thread:

hier haben bereits andere schlaue Leute und ich dazu was geschrieben

:-)

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=522926

PS: ich meine den Beitrag von Calvin mit dem Link

02.06.2013, 12:21

DLG

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RE: Zusammenhang zwischen tan(x/2) und sin(x) bzw. cos(x)
Hammer

also nichts anderes als Additionstheoreme...

Freude

vielen Dank

02.06.2013, 12:23

grosserloewe

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RE: Zusammenhang zwischen tan(x/2) und sin(x) bzw. cos(x)
Wink

gern doch .So ist es.

:-)

02.06.2013, 12:31

Rabbi

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RE: Zusammenhang zwischen tan(x/2) und sin(x) bzw. cos(x)

Zitat:

Original von DLG
...

Schritt 2:

$\begin{eqnarray*} sin(x)=2u/(1+u^2) \end{eqnarray*}$
...

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=2\,\sin\left (\frac{x}{2}\right )\,\cos\left (\frac{x}{2}\right )\quad \left .\right |\,\frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right )}{\cos\left(\frac{x}{2}\right )}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=2\,\frac{\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}}{\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}}=\cdots \end{eqnarray*}$

Und Ähnliches für cos(x) !

PS: Die Substitution
$\begin{eqnarray*} \tan\left (\frac{x}{2}\right )=u \end{eqnarray*}$
ist auch als Universal-Substitution bekannt.

02.06.2013, 12:57

DLG

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RE: Zusammenhang zwischen tan(x/2) und sin(x) bzw. cos(x)
Vielen Dank auch dir noch smile

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Zusammenhang zwischen tan(x/2) und sin(x) bzw. cos(x)

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