kleinster Normalteiler zu Kommutator [Topologie]

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Nobundo Auf diesen Beitrag antworten »
kleinster Normalteiler zu Kommutator [Topologie]
Hallo, ich versuche für die freie Gruppe den kleinsten Normalteiler zu finden der den Kommutator enthält. Ich habe bereits herausgefunden das du Kommutatorgruppe ein Normalteiler ist der den Kommutator enthält. Ich habe aber keine Ahnung wie ich herausfinden soll ob es auch der kleinste ist.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wenn du einen Normalteiler der [x,y] enthält rausfaktorisierst, so ist die Faktorgruppe abelsch. Der Kommutator entspricht ja genau der Relation xy = yx.
Die Kommutatoruntergruppe ist jedoch die kleinste, so dass die Faktorgruppe abelsch ist.
Nobundo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das die Faktorgruppe abelsch ist sehe ich ein, da die Gruppe ja gerade von x und y erzeugt wird. Wie bekommt man denn raus das es der kleinste Normalteiler ist so dass die faktorgruppe abelsch ist?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Sei der gesuchte Normalteiler und die Kommutatoruntergruppe.

Z.z. ist ja (wobei eine Inklusion klar ist)

Sind beliebig, so gilt in der Faktorgruppe : (da abelsch), also insbesondere .

Das ist aber schon hinreichend für .
Nobundo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, so ists klar, danke für die Hilfe
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